« Fonction logarithme/Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives » : différence entre les versions
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{{Chapitre|titre=Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives|idfaculté=mathématiques
|leçon=[[Fonction logarithme]]|numero=6|précédent=[[Fonction logarithme/Dérivée de ln(u)|Dérivée de ln(u)]]|suivant=[[Fonction logarithme/Logarithme de base quelconque|Logarithme de base quelconque]] <small>(13)</small>|niveau=12}}
==Principe==
{{Propriété|contenu=
Si <math>f(x)
:pour tout <math>x\in\R,~f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}</math>}}
Cette formule permet de déterminer certaines primitives, en mettant la fonction de départ sous la forme <math>\frac{u'}u</math>, quitte à « compenser » par une constante multiplicative.
==Inverse d’un fonction affine==
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sans se préoccuper de l’intervalle ''I'' où cela est possible.
*<math>f(x)=\frac4{4x-3}</math>
**<math>u(x)=\cdots</math>
**<math>u'(x)=\cdots</math>
**Donc une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in\R,~F(x)=\cdots</math>
*<math>u(x)=4x-3\,</math>
*<math>u'(x)=4\,</math>
*On s'aperçoit que pour tout <math>x\in I, f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}</math>
*Donc une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\ln(u(x))=\ln(4x-3)\,</math>}}
**<math>u(x)=\cdots</math>
**<math>u'(x)=\cdots</math>
**Donc une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\cdots</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=<math>f(x)=\frac1{2x+1}</math>
*<math>u(x)=2x+1\,</math>
*<math>u'(x)=2\,</math>
*On aimerait bien faire apparaître le terme <math>\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac2{2x+1}</math> dans l'expression de ''ƒ''.
*On manipule ''ƒ'' pour ce faire : pour tout <math>x\in I,~f(x)=\frac1{2x+1} \cdot2 \cdot\frac12=\frac12\frac{u'(x)}{u(x)}</math>
*Comme les constantes multiplicatives sont transparentes à la « primitivation », une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\frac12\ln(u(x))=\frac12\ln(2x+1)</math>}}
*<math>f(x)=\frac{-3}{4x-3}</math>
**<math>u(x)=\cdots</math>
**<math>u'(x)=\cdots</math>
**Donc une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\cdots</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=<math>f(x)=\frac{-3}{4x-3}</math>
*<math>u(x)=4x-3\,</math>
*<math>u'(x)=4\,</math>
*On aimerait bien faire apparaître le terme <math>\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac4{4x-3}</math> dans l'expression de ''ƒ''.
*On manipule ''ƒ'' pour ce faire : pour tout <math>x\in I,~f(x)=\frac{-3}{4x-3} \cdot \frac4{-3} \cdot\frac{-3}4=\frac{-3}4\frac{u'(x)}{u(x)}</math>
*Comme les constantes multiplicatives sont transparentes à la « primitivation », une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\frac{-3}4\ln(u(x))=-\frac34\ln(4x-3)</math>}}
'''Remarque :''' La fonction logarithme est indispensable au calcul de ces primitives.
*<math>f(x)
**<math>u(x)=\cdots</math>
**<math>u'(x)=\cdots</math>
**Donc <math>F(x)=\cdots</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=<math>f(x)=\frac{2x+4}{x^2+4x-3}</math>
*<math>u(x)=x^2+4x-3\,</math>
*<math>u'(x)=2x+4\,</math>
*On s'aperçoit que pour tout <math>x\in I, f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}</math>
*Donc une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\ln(u(x))=\ln(x^2+4x-3)\,</math>}}
*<math>f(x)
**<math>u(x)=\cdots</math>
**<math>u'(x)=\cdots</math>
**Donc <math>F(x)=\cdots</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=<math>f(x)=\frac{x-2}{x^2-4x+1}</math>
*<math>u(x)=x^2-4x+1\,</math>
*<math>u'(x)=2x-4=2(x-2)\,</math>
*On s'aperçoit que pour tout <math>x\in I, f(x)=2\frac{u'(x)}{u(x)}</math>
*Comme les constantes multiplicatives sont transparentes à la « primitivation », une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=2\ln(u(x))=2\ln(x^2-4x+1)\,</math>}}
==Primitive prenant une valeur fixée==
{{Propriété|contenu=Deux nombres réels ''a'' et ''b'' étant fixés, '''il existe une unique primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que <math>F(a)=b\,</math>.'''
Autrement dit, fixer la valeur de la primitive cherchée en un point suffit à fixer la primitive.}}
*<math>f(x)=\frac{x^2}{x^3+1}</math>
*<math>u(x)=\cdots</math>
*Donc une primitive de ''ƒ'' est définie par pour tout <math>x\in I,~F_0(x)=\cdots</math>
*La primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(2) = -3'' est définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=F_0(x)+K=\cdots+K</math>
*<math>-3=F(2)=\cdots</math>
*Donc <math>K=\cdots</math>
Finalement, la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(2) = -3'' est définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\cdots</math>
*<math>f(x)=\frac{-x}{x^2+5}</math>
Déterminer la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que <math>F(-1)=3\,</math>.
*<math>u(x)=\cdots</math>
*Donc une primitive de ''ƒ'' est définie par pour tout <math>x\in I,~F_0(x)=\cdots</math>
*La primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(-1) = 3'' est définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=F_0(x)+K=\cdots+K</math>
*<math>3=F(-1)=\cdots</math>
*Donc <math>K=\cdots</math>
Finalement, la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(2) = -3'' est définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\cdots</math>
{{Bas de page|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Fonction logarithme]]|précédent=[[../Dérivée de ln(u)|Dérivée de ln(u)]]|suivant=|suivant=[[Fonction logarithme/Logarithme de base quelconque|Logarithme de base quelconque]] <small>(13)</small>}}
[[Catégorie:Fonction logarithme]]
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