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« Fonction logarithme/Propriétés algébriques du logarithme » : différence entre les versions

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{{Chapitre|titre=Propriétés algébriques du logarithme|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Fonction logarithme]]|numero=2|précédent=[[Fonction logarithme/Définition du logarithme néperien|Définition du logarithme néperien]]|suivant=[[Fonction logarithme/Étude de la fonction logarithme népérien|Étude de la fonction logarithme népérien]]|niveau=12}}
 
==Exemple==
Calculer séparément à la calculatrice :
*<math>\ln(2)+\ln(3)\,</math>
*<math>\ln(6)\,</math>
 
==Propriété algébriquefondamentale du logarithme népérien==
 
En s’inspirant de l'exemple, on peut remarquer la propriété algébrique( (c’est-à-dire calculatoire) fondamentale du logarithme.
 
{{Théorème|contenu=Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, on a :
<center><math>\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)</math></center>}}
 
{{boîte déroulante|titre=Démonstration|contenu=<center>Soit <math>(\ln(a\times x))\ '=a\times in\frac1R^{a\times x+*}=\frac1x</math></center>
 
Pour tout <math>x\in\R^{+*},~(\ln(a\times x))=a\times \frac1{a\times x}=\frac1x</math>
donc :
 
<center>donc pour tout <math>x\in\R^{+*},~\ln(a\times x)=\ln(x)+ \textrm{constante}</math></center>
 
<center>Pour ''x=1'', on obtient <math>\ln(a\times 1)=\ln(1)+\textrm{constante=constante}</math></center>▼
mais pour ''x=1'':
 
Donc la constante vaut ''ln(a)''.
▲<center><math>\ln(a\times 1)=\ln(1)+\textrm{constante=constante}</math></center>
 
doncFinalement, lapour constante vaut ''ln(a)'' ettout <math>x\in\R^{+*},~\ln(a\times x)=\ln(x)+\ln(a)</math>, cqfd.}}
 
 
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