« Fonction logarithme/Croissances comparées » : différence entre les versions

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Achèvement
m Quantifications
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{{boîte déroulante|titre=Démonstration|contenu=
On pose <math>f:x\mapsto\frac{\ln(x)}x</math>, définie sur <math>\R^{+*}</math>
:Pour tout <math>x\in\R^{+*},~f'(x)=\frac{\frac1xx-\ln(x)}{x^2}=\frac{1-\ln(x)}{x^2}</math>
 
Or si <math>x > e</math>, <math>\ln(x)>1</math> donc cette dérivée est négative, donc la fonction ''f'' est décroissante.
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*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt x}</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=On pose <math>X=\sqrt x</math>.
 
Soit <math>x\in\R</math>:
Soit:On pose <math>xX=\in\Rsqrt x</math>:.
:<math>\begin{align}
\frac{\ln(x)}{\sqrt x}&=\frac{\ln(X^2)}X\\
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*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln(x^2)}</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=On poseSoit <math>X=x^2\,in\R</math>.
 
PourOn toutpose <math>X=x^2\in\R,~</math>.

On a <math>\frac x{\ln(x^2)}=\frac{\sqrt X}{\ln(X)}</math>
 
Comme <math>\lim_{X\to+\infty}\frac{\ln(X)}{\sqrt X}=0^+</math>, on a <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln(x^2)}=\lim_{X\to+\infty}\frac{\sqrt X}{\ln(X)}=+\infty</math>}}
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*<math>\lim_{x\to0}\sqrt x\ln(x)</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=On poseSoit <math>X=x\sqrt xin\R</math>.:
:On pose <math>X=\sqrt x</math>.
 
Soit <math>x\in\R</math>:
:<math>\begin{align}
\sqrt x\ln(x)&=X\ln(X^2)\\