« Fonction logarithme/Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Mise en page + solution partielle |
Achèvement |
||
Ligne 1 :
{{Chapitre|titre=Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives|idfaculté=mathématiques
|leçon=[[Fonction logarithme]]|numero=6|précédent=[[Fonction logarithme/Dérivée de ln(u)|Dérivée de ln(u)]]|suivant=[[Fonction logarithme/Logarithme de base quelconque|Logarithme de base quelconque]]
==Principe==
{{Propriété|contenu=Soit ''u'' une fonction dérivable à valeurs strictement positives sur un intervalle I.
Alors :
Cette formule permet de déterminer certaines primitives, en mettant la fonction de départ sous la forme <math>\frac{u'}u</math>, quitte à « compenser » par une constante multiplicative.
Ligne 81 ⟶ 82 :
*<math>u(x)=x^2-4x+1\,</math>
*<math>u'(x)=2x-4=2(x-2)\,</math>
*On s'aperçoit que pour tout <math>x\in I, f(x)=
*Comme les constantes multiplicatives sont transparentes à la « primitivation », une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=
==Primitive prenant une valeur fixée==
Ligne 93 ⟶ 94 :
'''Problématique :''' On désire trouver la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(a) = b'' en fixant correctement la constante ''K''.
*<math>f
Déterminer la primitive ''F'' de ''ƒ'' sur <math>\R^+</math> telle que <math>F(2)=-3\,</math>.
*Pour tout <math>x\in\R^+,~u(x)=\cdots</math>
*Donc une primitive de ''ƒ'' est définie par pour tout <math>x\in I,~F_0(x)=\cdots</math>
*La primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(2) = -3'' est définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=F_0(x)+K=\cdots+K</math>
Ligne 105 ⟶ 106 :
{{BDdébut|titre=Solution}}
*Pour tout <math>x\in\R^+,~u(x)=x^3+1</math>, soit <math>u'(x)=x^2\,</math>
*Donc une primitive de ''ƒ'' est définie par pour tout <math>x\in I,~F_0(x)=\ln(u(x))=\ln(x^3+1)</math>
*La primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(2) = -3'' est définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=F_0(x)+K=\ln(x^3+1)+K</math>
*<math>-3=F(2)\,=\ln(9)+K=2\ln(3)+K</math>
*Donc <math>K=-3-2\ln(3)\,</math>
Finalement, la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(2) = -3'' est définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\ln(x^3+1)-3-2\ln(3)</math>
▲*<math>f(x)=\frac{-x}{x^2+5}</math>
{{BDfin}}
*<math>f:x\mapsto\frac{-x}{x^2+5}</math>, définie sur <math>\R</math>
Déterminer la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que <math>F(-1)=3\,</math>.
*Pour tout <math>x\in\R,~u(x)=\cdots</math>
*Donc une primitive de ''ƒ'' est définie par pour tout <math>x\in I,~F_0(x)=\cdots</math>
*La primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(-1) = 3'' est définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=F_0(x)+K=\cdots+K</math>
Ligne 114 ⟶ 125 :
*Donc <math>K=\cdots</math>
Finalement, la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(
{{BDdébut|titre=Solution}}
*Pour tout <math>x\in\R,~u(x)=x^2+5</math>, soit <math>u'(x)=2x\,</math>
*Donc une primitive de ''ƒ'' est définie par pour tout <math>x\in I,~F_0(x)=-\frac12\ln(x^2+5)</math>
*La primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(-1) = 3'' est définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=F_0(x)+K=-\frac12\ln(x^2+5)+K</math>
*<math>3=F(-1)=-\frac12\ln(6)+K</math>
*Donc <math>K=3+\frac12\ln(6)</math>
Finalement, la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(-1) = 3'' est définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=-\frac12\ln(x^2+5)+3+\frac12\ln(6)</math>
{{BDfin}}
{{Bas de page|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Fonction logarithme]]|précédent=[[../Dérivée de ln(u)|Dérivée de ln(u)]]|suivant=|suivant=[[Fonction logarithme/Logarithme de base quelconque|Logarithme de base quelconque]]
[[Catégorie:Fonction logarithme]]
| |||