« Fonction logarithme/Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives » : différence entre les versions

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m +Ensembles de définition
Ligne 98 :
Déterminer la primitive ''F'' de ''ƒ'' sur <math>\R^+</math> telle que <math>F(2)=-3\,</math>.
*Pour tout <math>x\in\R^+,~u(x)=\cdots</math>
*Donc une primitive de ''ƒ'' est définie par pour tout <math>x\in I\R^+,~F_0(x)=\cdots</math>
*La primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(2) = -3'' est définie par pour tout <math>x\in I\R^+,~F(x)=F_0(x)+K=\cdots+K</math>
*<math>-3=F(2)=\cdots</math>
*Donc <math>K=\cdots</math>
 
Finalement, la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(2) = -3'' est définie par pour tout <math>x\in I\R^+,~F(x)=\cdots</math>
 
 
{{BDdébut|titre=Solution}}
*Pour tout <math>x\in\R^+,~u(x)=x^3+1</math>, soit <math>u'(x)=x^2\,</math>
*Donc une primitive de ''ƒ'' est définie par pour tout <math>x\in I\R^+,~F_0(x)=\ln(u(x))=\ln(x^3+1)</math>
*La primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(2) = -3'' est définie par pour tout <math>x\in I\R^+,~F(x)=F_0(x)+K=\ln(x^3+1)+K</math>
*<math>-3=F(2)\,=\ln(9)+K=2\ln(3)+K</math>
*Donc <math>K=-3-2\ln(3)\,</math>
 
Finalement, la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(2) = -3'' est définie par pour tout <math>x\in I\R^+,~F(x)=\ln(x^3+1)-3-2\ln(3)</math>
{{BDfin}}
 
Ligne 120 :
Déterminer la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que <math>F(-1)=3\,</math>.
*Pour tout <math>x\in\R,~u(x)=\cdots</math>
*Donc une primitive de ''ƒ'' est définie par pour tout <math>x\in I\R,~F_0(x)=\cdots</math>
*La primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(-1) = 3'' est définie par pour tout <math>x\in I\R,~F(x)=F_0(x)+K=\cdots+K</math>
*<math>3=F(-1)=\cdots</math>
*Donc <math>K=\cdots</math>
 
Finalement, la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(-1) = 3'' est définie par pour tout <math>x\in I\R,~F(x)=\cdots</math>
 
 
{{BDdébut|titre=Solution}}
*Pour tout <math>x\in\R,~u(x)=x^2+5</math>, soit <math>u'(x)=2x\,</math>
*Donc une primitive de ''ƒ'' est définie par pour tout <math>x\in I\R,~F_0(x)=-\frac12\ln(x^2+5)</math>
*La primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(-1) = 3'' est définie par pour tout <math>x\in I\R,~F(x)=F_0(x)+K=-\frac12\ln(x^2+5)+K</math>
*<math>3=F(-1)=-\frac12\ln(6)+K</math>
*Donc <math>K=3+\frac12\ln(6)</math>
 
Finalement, la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(-1) = 3'' est définie par pour tout <math>x\in I\R,~F(x)=-\frac12\ln(x^2+5)+3+\frac12\ln(6)</math>
{{BDfin}}