« Axiomes des théories des ensembles/Les ensembles finitaires » : différence entre les versions

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L’ensemble de tous les ensembles énumérables peut être choisi comme base de la théorie des ensembles finitaires, au même sens où les nombres entiers ont été choisis comme base des mathématiques classiques. L’avantage de ce choix est qu’il permet d’énoncer des règles de production de vérités et des principes élémentaires de raisonnement avec beaucoup de généralité. Il suffit d’adapter les méthodes, classiques et éprouvées, de calcul sur les nombres entiers au calcul sur les ensembles énumérables. On obtient une théorie aussi fiable que la théorie des nombres entiers, c’est-à-dire absolument fiable.
 
Le principe de Saint Thomas, je crois ce que je vois, peut être appliqué aux ensembles de base que sont les ensembles énumérables. Comme les éléments de ces ensembles sont toujours des formules on peut les montrer. Dire la vérité sur une formule n’est alors pas très difficile. La formule aba commence par la lettre a, elle contient b mais pas c, elle est symétrique, ... Ces évidences semblent peut être peu intéressantes mais elles méritent cependant un peu d’attention parce qu’elles suffisent comme source de beaucoup de vérités mathématiques. À partir de vérités aussi simples et évidentes que les précédentes on peut déduire des théorèmes très remarquables, pas du tout évidents, et qui nous apprennent beaucoup sur la nature de la raison.
 
Même lorsque les règles sont très élémentaires, les ensembles finitaires peuvent être très compliqués et les vérités à leur sujet ne sont parfois pas du tout évidentes, même si elles sont atomiques. On sait qu’elles sont des vérités parce que les axiomes sont vrais. Mais comment sait-on que les axiomes sont vrais ? Comment le prouve-t-on ?
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La théorie des modèles de la vérité mathématique ne répond pas complètement à ces questions. On ne veut pas seulement une théorie T des ensembles qui soit cohérente, parce que cela veut seulement dire que T dit la vérité sur un univers possible, sur des objets concevables. On veut que T dise la vérité sur des ensembles et pas sur n’importe quels objets. Comment connait-on des vérités sur les ensembles ?
 
La vérité sur un ensemble résulte de sa définition. Si E est l’ensemble qui contient aba comme unique élément alors aba est dans E mais abc n’est pas dans E,...
 
Nous verrons que de telles évidences suffisent pour trouver presque tous les axiomes des théories des ensembles finitaires. Un nombre relativement petit d’axiomes évidents permet de prouver toutes les évidences intuitives, et à partir d’elles on peut prouver presque toutes les vérités mathématiques .Cela montre que la raison est capable de se connaître elle-même, au moins en partie, et qu’il n’est même pas très difficile de la dire puisqu’il suffit d’énoncer des évidences. Celles-ci sont simples, claires et acceptables pour tout être rationnel.
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Le principe des principes des mathématiques finitaires, c’est de s’en tenir à des ensembles bien définis, c’est-à-dire qu’ils peuvent être déterminés complètement à l’intérieur d’une théorie.
 
Les ensembles finitaires sont d’abord des systèmes, ou ensembles, formels, c’est-à-dire des ensembles de formules, et ensuite d’autres ensembles que l’on peut construire progressivement en partant des systèmes formels. Ils peuvent être des ensembles d’ensembles formels, des ensembles d’ensembles d’ensembles formels, ...
 
Un ensemble est finitaire s’il peut être défini en un nombre fini d’étapes finitaires à partir des objets de base de la théorie. Une étape est finitaire si elle respecte une règle finitaire. Une définition du concept “finitaire” requiert donc une liste des règles finitaires. On exige de ces règles qu’elles ne permettent de construire que des ensembles bien définis.
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=== Le schéma d’axiomes du principe d’induction complète ===
Soit E un ensemble défini par induction à partir d’un élément initial i et d’une fonction génératrice g. Cela veut dire que E contient i et toutes ses images, g(i), g(g(i)), g(g(g(i))), ...obtenues…obtenues par un nombre fini d’applications de g . E est l’ensemble induit par g à partir de i.
 
Soit P(x, y1,...,yn) un prédicat d’une théorie des ensembles finitaires, avec n+1 variables libres. La formule suivante est un axiome.
 
Pour tous y1,...,yn, tout i et toute fonction g
 
si P(i, y1,...,yn)
 
et si pour tout x si P(x, y1,...,yn) alors P(g(x), y1,...,yn)
 
alors pour tout x, si x est dans Ensemble induit par g à partir de i alors P(x, y1,...,yn)
 
Cet axiome peut servir à prouver la négation d’une fausseté atomique. Si on sait déjà que P(c, y1,...,yn) est faux, on peut déduire que c n’est pas dans E.
 
Tel qu’il a été explicité, c’est un schéma d’axiomes qui montre comment formuler un nombre infini d’axiomes en remplaçant P(x, y1,...,yn) par les prédicats d’une théorie.
 
On peut considérer le principe d’induction complète comme une définition de la notion d’ensemble induit, au sens où il fixe la signification de cette notion.