« Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Laguerre » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m Robot : Changement de type cosmétique |
m Premières solutions |
||
Ligne 12 :
#Montrer que L vérifie l'équation <math>(E_2)~:~\forall n\in\mathbb N,\forall x\in\R,~(n+1)L_{n+1}(x)+ (x-2n-1) L_n(x)+nL_{n-1}(x)=0</math>
{{BDdébut|titre=Solution de la question 1}}
*Pour tout <math>P\in\R[X],~x\mapsto P(x)e^{-x}</math> est intégrable sur <math>\R^+</math>, donc l'intégrale est bien définie.
*La linéarité de l'intégrale donne la linéarité de <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>.
*La symétrie est triviale.
*Soit <math>P\in E</math>.
:<math>\langle P,P\rangle=\int_0^{+\infty}P^2(x)e^{-x}\mathrm dx</math>
:<math>x\mapsto P^2(x)e^{-x}</math> est une fonction positive d'intégrale sur <math>\R^+</math> nulle, donc cette fonction est identiquement nulle, c'est-à-dire P=0.
On a montré que <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> était bilinéaire, symétrique, définie positive.
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> est un produit scalaire sur E.}}
{{BDfin}}
{{BDdébut|titre=Solution de la question 2}}
*<math>\forall x\in\R,~L_0(x)=1</math>
*<math>\forall x\in\R,~L_1(x)=-x+1</math>
*<math>\forall x\in\R,~L_2(x)=\frac{x^2}2-2x+1</math>
*<math>\forall x\in\R,~L_3(x)=-\frac16x^3+\frac32x^2-3x+1</math>
{{BDfin}}
{{BDdébut|titre=Solution de la question 3 (à venir)}}
{{BDfin}}
{{BDdébut|titre=Solution de la question 4 (à venir)}}
{{BDfin}}
{{BDdébut|titre=Solution de la question 5 (à venir)}}
{{BDfin}}
{{Bas de page|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Espace préhilbertien réel]]}}
[[Catégorie:Espace préhilbertien réel]]
| |||