« Relativité restreinte » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Ligne 237 :
Commençons par un espace euclidien à deux dimensions, le plan, où se déplacent deux jumeaux partant de l'origine O des axes Ox et Oy pour atteindre un point P sur l'axe des y. Le premier prend le chemin direct en longeant l'axe des y, l'autre fait un détour pour arriver en P.
Le premier aura parcouru la droite Oy sur une distance
:<math>s_1=\int_{0}^P {dy}=y_P </math>▼
▲<math>s_1=\int_{0}^P {dy}=y_P </math>
et le second une courbe de longueur d'arc
:<math>s_2=\int_{0}^P \sqrt{dx^2+dy^2}>y_P</math>▼
▲<math>s_2=\int_{0}^P \sqrt{dx^2+dy^2}>y_P</math>
Lorsqu'ils arrivent en P, ils ont les mêmes coordonnées (0,y<sub>P</sub>).
Changeons maintenant de variable en posant y=ict, où i est la racine carrée de -1, c, la vitesse de la lumière et t, le temps. Maintenant le trajet doit être monotone en t puisqu'on ne peut remonter le temps. Le premier jumeau, casanier, reste immobile à l'origine de l'axe des x mais il se déplace selon l'axe du temps de t=0 à t=t<sub>P</sub>.
:<math>s_1=\int_{0}^P d(ict)=ict_P </math>▼
▲<math>s_1=\int_{0}^P d(ict)=ict_P </math>
Le jumeau voyageur aura fait un aller-retour le long de l'axe des x. Le long de l'axe du temps, il aura fait le même trajet que son jumeau casanier, de (0,0) à (0,t=t<sub>P</sub>) ce qui lui fait un chemin à la fois d'espace et de temps:
:<math>s_2=\int_{0}^P \sqrt{dx^2-c^2dt^2}</math>▼
▲<math>s_2=\int_{0}^P \sqrt{dx^2-c^2dt^2}</math>
Pour éviter les nombres imaginaires s<sub>1</sub> et s<sub>2</sub>, on préfère souvent utiliser le temps propre τ qui est le temps affiché par l'horloge du jumeau casanier dans son référentiel propre car le déplacement x y est nul:
:<math>\tau_1=\int_{0}^P dt=t_P</math>▼
▲<math>\tau_1=\int_{0}^P dt=t_P</math>
et
:<math>\tau_2=\int_{0}^P \sqrt{dt^2-\frac{dx^2}{c^2}}<t_P</math>▼
▲<math>\tau_2=\int_{0}^P \sqrt{dt^2-\frac{dx^2}{c^2}}<t_P</math>
On a τ<sub>2</sub><τ<sub>1</sub>. Le chemin τ<sub>2</sub> parcouru dans l'espace-temps par le second jumeau est donc plus court que celui du jumeau casanier qui ne s'est déplacé que dans le temps. Au contraire de l'espace euclidien, faire un détour raccourcit le chemin à cause du signe - dû au carré de i. Ce chemin n'est pas une géodésique car le moteur de la fusée permet de se déplacer selon une courbe quelconque. D'ailleurs, en relativité restreinte, les géodésiques sont des droites. À la fin du voyage, les horloges se trouvent au même point d'espace-temps qu'au départ, l'horloge reprend son rythme initial. On aurait pu imaginer que les jumeaux comparent leurs règles: elles raccourciraient pendant le voyage mais reprendraient leur longueur initiale au retour. Ceci n'est pas possible pour le temps car il s'écoule inéluctablement dans le même sens. Il n'est toutefois pas exclu que la cadence de l'horloge puisse s'accélérer pendant la décélération à l'arrivée et rattraper ainsi son retard. Il n'y a pas d'avance puisque la vitesse ralentit toujours le rythme des horloges distantes, sous réserve du rôle de l'accélération. La vitesse du jumeau voyageur apparaît en posant v =dx/dt et on peut écrire :
:<math>\tau_2=\int_{0}^P \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\,dt<t_P</math>▼
▲<math>\tau_2=\int_{0}^P \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\,dt<t_P</math>
Le jumeau voyageur vieillirait donc moins vite que son jumeau resté à terre. Les preuves expérimentales de la dilatation du temps
| |||