« Relativité restreinte » : différence entre les versions

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ce qui est la transformation de Lorentz réciproque du temps. On a donc β=γ et <math>\alpha=-v/c^2</math>.
====Seconde méthode====
La démonstration qui suit ne fait pas appel à la vitesse de la lumière et permet donc de séparer leles principeprincipes d'invariance et celui de relativité. La transformation inverse de
:<math>x'=\gamma\left(x-vt\right)</math>
En inversant les formules de transformation de R à R’, on obtient :
:<math>t'=\beta\left(t+\alpha x\right)</math>
est :
:<math>x=\frac{1}{1-\alpha v}\left(\frac{x'}{\gamma}-\frac{vt'}{\beta}\right)</math>
:<math>t=\frac{1}{1-\alpha v}\left(\frac{t'}{\beta}-\frac{\alpha x'}{\gamma}\right)</math>
Conformément au principe de relativité, les expressions de x et de t doivent s'écrire:
 
Conformément au principe de relativité, les expressions de x et de t doivent être égales aux expressions de départ, excepté le changement de signe de la vitesse relative des référentiels R et R’ :
:<math>x=\gamma\left(x'+vt'\right)=\frac{1}{1+\alpha v}\left(\frac{x'}{\gamma}+\frac{vt'}{\beta}\right)</math>
 
:<math>t=\beta\left(t'+\alpha x'\right)=\frac{1}{1+\alpha v}\left(\frac{t'}{\beta}-\frac{\alpha x'}{\gamma}\right)</math>
On doit donc avoir les identités, vérifiées quels que soient x’ et t’ :
:<math>x=\gamma\left(x'+vt'\right)</math>
 
:<math>t=\left(t'+\alpha x'\right)</math>
Elles doivent être égales aux expressions obtenues par inversion sauf pour le signe de la vitesse qu'on doit changer :
:<math>x=\frac{1}{1+\alpha v}\left(\frac{x'}{\gamma}+\frac{vt'}{\beta}\right)</math>
 
:<math>t=\frac{1}{1+\alpha v}\left(\frac{t'}{\beta}-\frac{\alpha x'}{\gamma}\right)</math>
On doit donc avoir les identités, vérifiées quels que soient x’ et t’ :
Cela donne les égalités :
:<math>x=\gamma\left(x'+vt'\right)=\frac{1}{1+\alpha v}\left(\frac{x'}{\gamma}+\frac{vt'}{\beta}\right)</math>
 
:<math>t=\beta\left(t'+\alpha x'\right)=\frac{1}{1+\alpha v}\left(\frac{t'}{\beta}-\frac{\alpha x'}{\gamma}\right)</math>
Cela donneD'où les égalités :
:<math>\beta =\gamma=\frac{1}{\sqrt{1+\alpha v}}</math>