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« Relativité restreinte » : différence entre les versions

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===Principe de relativité===
 
D’après le principe de relativité, il n’y a pas de référentiel galiléen privilégié, en particulier pour la lumière. On doit donc trouver la même relation, que l’on passe de R à R’ ou l’inverse, de R’ à R. Toutefois, si on ne change pas le sens des axes de coordonnées, la vitesse v doit changer de signe. En effet, si R est immobile et que la vitesse de R’ par rapport à R est v, positive, R’ s’éloigne de R. Si, maintenant, on considère que R’ est immobile, R s’éloignant toujours de R’, le déplacement devra être en sens opposé : la vitesse de R est alors négative. La transformation inverse est donc, en utilisant la constance de la vitesse de la lumière x = ct et x’ = ct’:▼
====Première méthode====
▲D’après le principe de relativité, il n’y a pas de référentiel galiléen privilégié, en particulier pour la lumière. On doit donc trouver la même relation, que l’on passe de R à R’ ou l’inverse, de R’ à R. Toutefois, si on ne change pas le sens des axes de coordonnées, la vitesse v doit changer de signe. En effet, si R est immobile et que la vitesse de R’ par rapport à R est v, positive, R’ s’éloigne de R. Si, maintenant, on considère que R’ est immobile, R s’éloignant toujours de R’, le déplacement devra être en sens opposé : la vitesse de R est alors négative. La transformation inverse est donc, en utilisant la constance de la vitesse de la lumière x = ct et x’ = ct’:
 
 
:
<math>x=ct=\gamma\left(x'+vt'\right)=\gamma\left(c+v\right)t'</math>
 
<math>t=\beta\left(t'+\alpha x'\right)=\beta\left(1+\alpha c\right)t'</math>
 
 
La transformation directe s'écrit, de même:
 
 
:
<math>x'=ct'=\gamma\left(x-vt\right)=\gamma\left(c-v\right)t</math>
 
<math>t'=\beta\left(t+\alpha x\right)=\beta\left(1+\alpha c\right)t</math>
 
 
Utilisons l'expression de x dans la première équation ci-dessus, puis celle de t' dans la dernière et, enfin, l'expression de 1+αc donnée dans le paragraphe précédent:
 
 
:
<math> x=ct=\gamma (c + v) t'=\gamma (c + v)\beta (1 + \alpha c) t=\gamma (c + v)\beta (\frac{\gamma}{\beta}(1-\frac{v}{c})t= \gamma^2 (1-\frac{v^2}{c^2})c t</math>
 
 
D'où, après simplification par ct, le facteur de Lorentz:
 
:
<math>\gamma=\frac{1}{ \sqrt[]{1 -\frac{v^2}{c^2}} } </math>
 
Remplaçons x par ct dans la seconde relation de Lorentz réciproque, puis remettons x=ct:
 
 
:
<math> t'=\beta (1+\alpha c)t= \beta[\frac{\gamma}{\beta}(1-\frac{v}{c})]t = \gamma(t-\frac{vt}{c}) = \gamma(t-\frac{vx}{c^2})</math>
 
ce qui est la transformation de Lorentz réciproque du temps. On a donc β=γ et <math>\alpha=-v/c^2</math>.
====Seconde méthode====
La démonstration qui suit ne fait pas appel à la vitesse de la lumière et permet donc de séparer les principes d'invariance et de relativité. La transformation inverse de
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