« Relativité restreinte » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Ligne 151 :
== Métrique de Minkowski ==
L'espace euclidien est caractérisé par la validité du théorème de Pythagore qu'on écrit sous la forme d'une métrique, soit, en deux dimensions:
:<math>ds^2= dx^2 + dy^2</math>▼
▲<math>ds^2= dx^2 + dy^2</math>
En y faisant y=ict, on obtient la métrique de Minkowski qui caractérise l'espace pseudo euclidien de la relativité restreinte:
:<math>\mathbf{ds^2=dx^2+d(ict)^2}=dx^2-c^2dt^2=-c^2\left(1- \frac{v^2}{c^2}\right)dt^2</math> ▼
▲<math>\mathbf{ds^2=dx^2+d(ict)^2}=dx^2-c^2dt^2=-c^2\left(1- \frac{v^2}{c^2}\right)dt^2</math>
Où on a fait apparaître la vitesse relative v du référentiel R' par rapport au référentiel R. On écrit souvent la métrique de Minkowski sous la forme:
:<math>d\tau^2=dt^2-\frac{dx^2}{c^2}=\left(1- \frac{v^2}{c^2}\right)dt^2</math> ▼
▲<math>d\tau^2=dt^2-\frac{dx^2}{c^2}=\left(1- \frac{v^2}{c^2}\right)dt^2</math>
où τ est le temps propre et t le temps-coordonnée. Pour simplifier l'écriture, on prend parfois c=1, mais cela interdit toute vérification par les équations aux dimensions. Écrivons la transformation de Lorentz sous forme différentielle, dans l'hypothèse où v est constante (référentiels R et R' galiléens):
:<math>dx= \gamma\left(dx' + v dt'\right) </math>▼
:<math>dt=\gamma\left(dt' + \frac{v dx'}{c^2}\right) </math>▼
▲<math>dx= \gamma\left(dx' + v dt'\right) </math>
▲<math>dt=\gamma\left(dt' + \frac{v dx'}{c^2}\right) </math>
En remplaçant, dans la métrique de Minkowski, dx et dt en fonction de dx' et dt' grâce à la transformation de Lorentz, on obtient:
:<math>ds^2=dx^2-c^2dt^2=\gamma^2\left(dx' + v dt'\right)^2 -c^2\gamma^2\left(dt' + \frac{vdx'}{c^2}\right)^2 =\gamma^2\left[\left(x' + v dt'\right)^2 -c^2\left(dt' + \frac{vdx'}{c^2}\right)^2\right] </math> ▼
▲<math>ds^2=dx^2-c^2dt^2=\gamma^2\left(dx' + v dt'\right)^2 -c^2\gamma^2\left(dt' + \frac{vdx'}{c^2}\right)^2 =\gamma^2\left[\left(x' + v dt'\right)^2 -c^2\left(dt' + \frac{vdx'}{c^2}\right)^2\right] </math>
Développons et simplifions:
:<math>ds^2=\gamma^2\left(dx'^2 + v^2 dt'^2 +2vdx'dt' -c^2dt'^2 - \frac{v^2dx'^2}{c^2} -2vdt'dx' \right)= \frac{1}{1- \frac{v^2}{c^2}}\left(1- \frac{v^2}{c^2}\right)\left(dx'^2 -c^2dt'^2\right)</math> ▼
▲<math>ds^2=\gamma^2\left(dx'^2 + v^2 dt'^2 +2vdx'dt' -c^2dt'^2 - \frac{v^2dx'^2}{c^2} -2vdt'dx' \right)= \frac{1}{1- \frac{v^2}{c^2}}\left(1- \frac{v^2}{c^2}\right)\left(dx'^2 -c^2dt'^2\right)</math>
La métrique de Minkowski ayant subi la transformation de Lorentz s'écrit donc:
:<math>\left. ds^2=dx'^2-c^2dt'^2\right. </math>
On retrouve la métrique de départ, aux apostrophes près. La métrique de Minkowski est conservée dans un changement de référentiel par la transformation de Lorentz.
| |||