« Relativité restreinte » : différence entre les versions

 

===Référentiels galiléens===

En cinématique classique, le déplacement total x dans le référentiel R est la somme du déplacement relatif x’ dans le référentiel R’ et du déplacement d'entraînement vt du référentiel R’ par rapport à R à la vitesse v : x = x’+vt ou x’=x-vt. Cette relation est linéaire lorsque la vitesse v est constante, c'est-à-dire lorsque les référentiels R et R' sont galiléens. Le temps est le même dans chacun des référentiels R et R’, ce qui n’est plus le cas en relativité restreinte où t ≠ t’. La relation linéaire la plus générale possible, c’est-à-dire avec quatre coefficients constants, α, β, γ et v est :

:<math>x'=\gamma\left(x-vt\right)</math>

:<math>t'=\beta\left(t+\alpha x\right)</math>

Que l'on peut écrire sous forme matricielle :

:<math> \begin{pmatrix} x' \\ ct' \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma v/c \\ \beta \alpha c & \beta \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x \\ ct \end{pmatrix} </math>

La transformation de Lorentz devient celle de Galilée pour β = γ = 1 et α = 0.

 

 

La lumière n'est pas soumise à la vitesse d'entraînement, comme l'a montré l'expérience de Michelson. Pour que la vitesse c de la lumière soit constante quel que soit le référentiel, on doit avoir x = ct si x’ = ct’. En remplaçant x et x’ dans les deux équations précédentes, on a

En y remplaçant t’ à l’aide de la seconde équation, la première équation devient :

Après simplification par t et division par cβ, on obtient la relation

 

===Principe de relativité===

D’après le principe de relativité, il n’y a pas de référentiel galiléen privilégié, en particulier pour la lumière. On doit donc trouver la même relation, que l’on passe de R à R’ ou l’inverse, de R’ à R. Toutefois, si on ne change pas le sens des axes de coordonnées, la vitesse v doit changer de signe. En effet, si R est immobile et que la vitesse de R’ par rapport à R est v, positive, R’ s’éloigne de R. Si, maintenant, on considère que R’ est immobile, R s’éloignant toujours de R’, le déplacement devra être en sens opposé : la vitesse de R est alors négative.

 

Conformément au principe de relativité, les expressions de x et de t doivent s'écrire:

:<math>x=\gamma\left(x'+vt'\right)</math>

:<math>t=\left(t'+\alpha x'\right)</math>

Elles doivent être égales aux expressions obtenues par inversion sauf pour le signe de la vitesse qu'on doit changer :

:<math>x=\frac{1}{1+\alpha v}\left(\frac{x'}{\gamma}+\frac{vt'}{\beta}\right)</math>

:<math>t=\frac{1}{1+\alpha v}\left(\frac{t'}{\beta}-\frac{\alpha x'}{\gamma}\right)</math>

:<math>x=\gamma\left(x'+vt'\right)=\frac{1}{1+\alpha v}\left(\frac{x'}{\gamma}+\frac{vt'}{\beta}\right)</math>

:<math>t=\left(t'+\alpha x'\right)=\frac{1}{1+\alpha v}\left(\frac{t'}{\beta}-\frac{\alpha x'}{\gamma}\right)</math>

D'où les égalités :

En utilisant la relation

:<math>1+\alpha c=\frac{\gamma}{\beta}(1-\frac{v}{c}) </math>

du paragraphe précédent, on a :

:<math>\alpha =-\frac{v}{c^2}</math>

:<math>\beta =\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math>

Nous avons donc tous les coefficients recherchés et, donc, la transformation de Lorentz. Elle s'écrit, pour l'abscisse et le temps, c'est-à-dire en deux dimensions:

La transformation '''inverse''' de Lorentz s'écrit, en utilisant le facteur de Lorentz γ:

 

où

avec L (pour Lorentz, parfois Λ) matrice symétrique de déterminant 1, d'inverse

 

La véritable base de la relativité restreinte est la transformation de Lorentz qui généralise celle de Galilée aux vitesses non négligeables par rapport à celle de la lumière. Elle exprime la transformation des déplacements et du temps qui dépendent tous deux de la vitesse relative entre les référentiels R et R'.

 

=== Dilatation du temps ===

Soit une horloge immobile dans un référentiel R' se déplaçant à la vitesse v par rapport à un référentiel R où se trouve un observateur. La cadence de cette horloge est Δt’ au repos, dans son référentiel propre R' et Δt vue de R. Comme elle est immobile par rapport à R', sa position y est fixe, par exemple, Δx'=0. On choisit, parmi les quatre équations de la transformation de Lorentz, celle qui contient à la fois t, t' et x':

L’intervalle entre deux battements d’horloge apparaît plus important sur une horloge en mouvement à un observateur au repos. Il devient infini lorsque la vitesse de l’horloge atteint celle de la lumière. Le temps de l’horloge en mouvement ne s’écoule plus (pour l’observateur distant seulement). Une particule de durée de vie limitée, par exemple un méson, a une durée de vie apparente bien plus grande si elle se déplace à très grande vitesse.

 

 

=== Contraction des longueurs ===

Soit une règle immobile dans un référentiel R' se déplaçant à la vitesse v par rapport à un référentiel R où se trouve un observateur. La longueur au repos de cette règle est Δx' pour un observateur dans R’. Elle apparaît sous une longueur Δx pour un observateur dans R. Pour faire cette mesure, l’observateur dans R fait une photo en instantané, c’est-à-dire, par exemple, à l'instant t = 0. Il prend un cliché de la règle en mouvement, de longueur Δx qu'il compare à Δx’, longueur de la même règle au repos. Il connaît donc Δx, Δx’ et Δt=0. La relation de Lorentz à utiliser, où ces variables apparaissent est :

La formule a la même forme que pour le temps, sauf qu'à gauche on a maintenant x' au lieu de t, ce qui fait que les longueurs se contractent alors que le temps se dilate, ce qui s'écrit généralement:

 

== Métrique de Minkowski ==