« Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice » : différence entre les versions

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Ligne 33 :
* <math>exp(0) = I_n</math>
* Si <math>A=diag(a_1, a_2, ... , a_n)</math>, alors <math>exp(A)=diag(e^{a_1}, e^{a_2}, ... , e^{a_n})</math>
* S'il existe <math>P\in GL_n(\mathbb{K})</math> tel que <math> A=P\cdot B\cdot P^{-1}</math>, alors <math>exp(A)=P\cdot exp(B) \cdot P^{-1}</math>
* Si A et B commutent, alors <math>exp(A + B) = exp(A) \cdot exp(B)</math>
* <math>det (e^A) = exp (tr(A))</math>
Ligne 41 ⟶ 42 :
Les 2 premières propriétés sont évidentes.
 
La 3ème4ème se montre comme pour les exponentielles réelles ou complexes
 
Pour la 3ème : on remarque juste que <math>A^n=P\cdot B^n \cdot P^{-1}</math> et que la multiplication est une application continue (pour passage à la limite)
 
Pour la dernière : ''A compléter''
Ligne 56 ⟶ 59 :
il suffit de remarquer que -A commute avec A donc <math>exp(A) \cdot exp(-A) = exp(A-A) = e^0 = I_n</math>
}}
 
 
== Calculs d'exponentielles matricielles ==
{{Propriété|titre=Matrices diagonalisables|contenu=
Soit A une matrice diagonalisable telle que <math>A=P \cdot \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \cdot P^{-1}</math>, alors
 
<math>exp(A)=P \cdot \begin{pmatrix} e^{a_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & e^{a_2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{a_n} \end{pmatrix} \cdot P^{-1}</math>
 
}}
 
 
== Utilisation des exponentielles de matrice ==
 
{{Bas de page|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Matrice]]|précédent=[[Matrice/Norme|Norme]] |suivant=[[Matrice/Analyse matricielle|Analyse matricielle]]}}