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« Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice » : différence entre les versions

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{{Définition|contenu=
Soit '''A''' une matrice carrée ''n × n''. L'exponentielle de '''A''', notée <math>exp(\mathbf A)</math> ou <math>e^A</math> est la matrice définie par
:<math>exp( \mathbf A)=\sum_{nk=0}^{+\infty} \frac{\mathbf A ^nk}{nk!}</math>
}}
 
 
{{Démonstration|titre=Démonstration de l'existence de l'exponentielle|contenu=
On démontre que la série <math>\sum A^nk</math> converge normalement.
 
Toutes les normes étant équivalentes, on peut utiliser une norme subordonnée. Rappel : une norme subordonnée vérifie
:<math>|||A \cdot B||| \leq |||A||| . |||B|||</math> donc en particulier <math>|||A^nk||| \leq |||A|||^nk</math>
 
Ainsi <math>\left| \left| \left| \frac{A^nk}{nk!} \right| \right| \right| \leq \frac{|||A|||^nk}{nk!}</math>. Et comme la série <math>\sum \frac{|||A|||^nk}{nk!}</math> converge (série exponentielle dans <math>\mathbb C</math>), on a bien convergence normale de la série <math>\sum A^nk</math>
}}
 
Ligne 68 :
 
}}
 
 
{{Propriété|titre=Matrices nilpotentes|contenu=
Ligne 73 ⟶ 74 :
 
<math>exp(A)=\sum_{k=0}^q \frac{A^k}{k!}</math>
}}
 
 
{{Propriété|titre=Généralisation|contenu=
Soit A une matrice, on la réduit sous la forme de Jordan. Puis on exponentialise dans chaque sous-espace propre en utilisant les 2 méthodes ci-dessus ''(A compléter)''
}}
 
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