« Limites d'une fonction/Opérations sur les limites » : différence entre les versions
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Ligne 32 :
| width="20%"|FI
|}
====Limite d'un produit====
{| class="wikitable" width="100%"
| width="20%"|<math>\lim_{a}f</math>
| width="20%"|<math>l</math>
| width="20%"|<math>l</math> ≠ <math>0</math>
| width="20%"|<math>+\infty</math> ou <math>-\infty</math>
| width="20%"|<math>0</math>
|-
| width="20%"|<math>\lim_{a}g</math>
| width="20%"|<math>l^\prime</math>
| width="20%"|<math>+\infty</math> ou <math>-\infty</math>
| width="20%"|<math>+\infty</math> ou <math>-\infty</math>
| width="20%"|<math>+\infty</math> ou <math>-\infty</math>
|-
| width="20%"|<math>\lim_{a}(f \times g)</math>
| width="20%"|<math>l \times l^\prime</math>
| width="20%"|<math>+\infty</math> ou <math>-\infty</math> <span style="font-size: 60%; border: ">([[Nombre entier relatif/Produit|règle des signes]])</span>
| width="20%"|<math>+\infty</math> ou <math>-\infty</math> <span style="font-size: 60%; border: ">([[Nombre entier relatif/Produit|règle des signes]])</span>
| width="20%"|FI
|}
====Limite d'un quotient====
Ligne 60 ⟶ 79 :
|<math>+\infty</math> ou <math>-\infty</math> <span style="font-size: 60%; border: ">([[Nombre entier relatif/Produit|règle des signes]])</span>
|}
====Limite d'une racine carrée====
{| class="wikitable" width="45%" alignement|center
| width="15%"|<math>\lim_{a}f</math>
| width="15%"|<math>l>0</math>
| width="15%"|<math>+\infty</math>
|-
| width="15%"|<math>\lim_{a}\sqrt{f}</math>
| width="15%"|<math>\sqrt{l}</math>
| width="15%"|<math>+\infty</math>
|}
===== Exemples =====
* Soit <math>f:x \mapsto \frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}</math>. Que vaut sa limite aux bornes de son domaine de définition ?
<math>-3x^2+5x+2=0 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{3} \mbox{ ou } x=2</math><br />
<math>\mathcal{D}_f= \mathbb{R}- \{ -\frac{1}{3};2 \}</math><br />
Nous allons étudier la limite de <math>f</math> aux infinis, en <math>-\frac{1}{3}</math> et en <math>2</math>.
----
<math>\lim_{x \to \pm \infty} f(x)= \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{-3x^2}</math><br />
<math>\lim_{x \to \pm \infty} f(x)= -\frac{1}{3}</math><br />
----
{| cellpadding="5" cellspacong="0" border="0" align="center"
|
On pose : <math>N(x)=x^2-3x+2\,</math><br />
et <math>D(x)=-3x^2+5x+2\,</math>.
<math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}} N(x)=N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{10}{9}</math><br />
<math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}} D(x)=D \left( -\frac{1}{3} \right)=0</math><br />
<math>-\frac{1}{3}</math> étant une valeur interdite, nous allons envisager deux cas de figure : <math>x</math> va tendre vers <math>-\frac{1}{3}</math> soit par <math>{-\infty}</math>, soit par <math>{+\infty}</math> mais sans jamais l'atteindre.<br />
|
{| align="center" cellpadding="5" border="0"
|- align="center"
| colspan="2" | Grâce au signe du trinôme, nous pouvons dire que :
|- align="center"
| pour <math>x<-\frac{1}{3}</math>,<br />
<math>D(x)<0\,</math> et<br />
<math>N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{28}{9}>0</math><br />
ainsi, <math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}^-} f(x) = {-\infty}</math>
| pour <math>x \in \left]-\frac{1}{3};2 \right[</math>,<br />
<math>D(x)>0\,</math> et<br />
<math>N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{28}{9}>0</math><br />
ainsi, <math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}^+} f(x) = {+\infty}</math>
|}
|}
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{|
|
<math>\lim_{x \to 2} N(x)=N(2)=0\,</math><br />
<math>\lim_{x \to 2} D(x)=D(2)=0\,</math>
Nous sommes en présence d'une forme indéterminée de type « <math>\frac{0}{0}</math> ».
|
Comme <math>N(2)=0</math> et <math>D(2)=0</math>, <math>2</math> est bien une racine de ces deux polynômes. Factorisons donc <math>f</math>.
Soient <math>x_1</math> et <math>x_2</math> les racines de <math>N(x)</math>.<br />
<math>N(x)=0 \Leftrightarrow x^2-3x+2=0</math><br />
Nous savons que <math>x_1=2</math>, donc : <math>2x_2= \frac{2}{1}</math> et : <math>x_2=1\,</math>.<br />
Les racines de <math>N(x)</math> sont : <math>1</math> et <math>2</math>.<br />
|}
{| border="0" align="center" cellpadding="5"
|-
| colspan="2" | Nous avons vu précédemment que les racines de <math>D(x)</math> sont : <math>-\frac{1}{3}</math> et <math>2</math>, ainsi :
|-
| <math>f(x)= \frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}</math><br />
<math>f(x)= \frac{(x-2)(x-1)}{-3(x-2)(x+\frac{1}{3})}</math><br />
<math>f(x)= \frac{x-1}{-3(x+\frac{1}{3})}</math><br />
| donc
| <math>\lim_{x \to 2} f(x)=f(2)</math><br />
<math>\lim_{x \to 2} f(x)=\frac{(2-1)}{-3(2+\frac{1}{3})}</math><br />
<math>\lim_{x \to 2} f(x)=-\frac{1}{7}</math>
|-
|}
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En résumé :<br />
{|
|-
| <math>\lim_{x \to \pm \infty} f(x)= \frac{1}{3}</math>
| <math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}^-} f(x) = {-\infty}</math>
|-
| <math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}^+} f(x) = {+\infty}</math>
| <math>\lim_{x \to 2} f(x)=-\frac{1}{7}</math>
|-
|}
[[Catégorie:Langage des limites]]
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