« Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Ligne 159 :
=Notion d'ensemble=
==Définitions==
C'est une notion à la fois difficile à définir très proprement et à la fois très intuitive : on se contentera de l'intuition. Un '''ensemble''' est donc une "collection" d'objets qu'on appelle ces '''éléments'''. On note <math>x\in E</math> pour signifier que l'élément <math>x</math> appartient à l'ensemble <math>E</math>, et <math>x\notin E</math> pour dire le contraire.
Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux ensembles. On dit que <math>E</math> est inclus dans (où est une partie de , où encore est un sous ensemble de) <math>F</math>, et on note <math>E\subset F</math>, ssi <math>\forall x, \; x\in E \Rightarrow x\in F</math>. On note <math>\mathcal{P}(F)</math> l''''ensemble de ces parties''' <math>E\subset F</math>. Anisi <math>E\subset F\Leftrightarrow E\in\mathcal{P}(F)</math>. Enfin on note <math>E\subsetneq F</math> pour signifier <math>E\subset F</math> et <math>E\neq F</math>.
Deux ensembles <math>E</math> et <math>F</math> sont égaux et on écrit <math>E=F</math> ssi <math>E\subset F</math> et <math>F\subset E</math>, ie qu'ils ont exactement les mêmes éléments.
On a le droit de définir l'ensemble des éléments d'un ensemble <math>E</math> vérifiant un prédicat <math>\mathcal{P}</math>, on le note <math>\{x\in E / \mathcal{P}(x)\}</math>. On parle de définition en '''compréhension'''. Il est crucial de préciser l'ensemble d'origine des éléments <math>x</math>. Sinon on pourrait considérer l'ensemble <math>E:=\{x/x\notin x\}</math> : a-ton <math>E\in E</math> ?
Il existe un ensemble qui ne contient aucun élément : en effet on considère un ensemble <math>E</math> quelconque et l'ensemble <math>\emptyset:=\{x\in E / E \neq E \}</math>. De plus <math>\emptyset</math> appartient à tous les ensemble. Un tel autre ensemble <math>E</math> vérifierait alors <math>\emptyset\subset E</math> et <math>E\subset\emptyset</math>, d'où l'égalité. On parle alors de '''l'ensemble vide'''.
Remarque : On a <math>\mathcal{P}(\emptyset)=\{\emptyset\}</math> qui est donc non vide.
Etant donnés deux objets <math>x</math> et <math>y</math> on peut définir l'ensemble les contenant exactement : il s'agit de la '''paire''' <math>\{x,y\}</math>. Ce procédé s'entend également pour construire des ensembles à plus de deux éléments et on écrit par exemple <math>\mathcal{P}(\{x,y\})=\{\emptyset,\{x\},\{y\},\{x,y\}\}</math>. Lors d'une telle énumération, on dit qu'on définit l'ensemble '''en extension'''. On a par exemple <math>\{a,b\}=\{b,a\}=\{a,b,a\}</math>.
Pour que l'ordre des éléments aït une importance on définit le '''couple''' <math>(a,b)</math> par <math>(a,b):=\{a,\{a,b\}\}</math>, on vérifie en effet la
{{Théorème|Titre=Proposition|contenu=
<math>\forall a,b,c,d, \; (a,b)=(c,d) \Leftrightarrow a=c \text{ et }b=d</math>
}}
{{boîte déroulante|align=left|alignT=center|titre=Preuve|contenu=
* \Leftarrow est triviale.
* \Rightarrow : Si <math>=\{a,\{a,b\}\}=\{c,\{c,d\}\}</math> montrons que <math>a=c</math> et <math>b=d</math>.<br />
On suppose d'abord <math>a=c</math> alors <math>\{a,b\}=\{c,d\}</math> et comme <math>a=c</math>, <math>b=d</math>.<br />
Sinon <math>a\neq c</math>, mais alors
}}
On appelle alors '''produit cartésien''' de deux ensembles <math>E</math> et <math>F</math>, l'ensemble des couples <math>(x,y),\; x\in E,\, y\in F</math>. On le note <math>E\times F</math>, lire "E croix F". ceci s'étend pour définir des '''triplets''' <math>(a,b,c)</math>; des quadruplets <math>(a,b,c,d)</math>; des <math>n</math>-uplets (a_1,a_2,\dots,a_n).
==Opérations sur les ensembles==
=Relations binaires=
| |||