« Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique » : différence entre les versions
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==Opérations sur les ensembles==
===Différence, complémentaire===
{{définition|contenu=
[[Image:Venn-not.svg|200px|left]]
On appelle '''différence''' ''A'' et ''B'' dans cet ordre, pour deux parties d'un ensemble ''E'', l'ensemble noté <math>A\setminus B:=\{x\in E/ x\in A \text{ et } x\notin B\}</math>.
}}
En particulier on définit pour une partie ''A'' d'un ensemble ''E'' son '''complémentaire''' dans ''E'', noté <math>\complement_E A</math> ou <math>A^c</math> s'il n'est pas nécéssaire de préciser ''E''.
Exercice : Que dire de <math>A\setminus\emptyset</math> ; <math>\emptyset\setminus A</math>; <math>A\setminus A</math>, pour <math>A\in\mathcal{P}(E)</math> ?
===Intersection, réunion===
{{définition|contenu=
[[Image:Venn-and.svg|200px|left]]
On appelle '''intersection''' de deux parties quelconques ''A'' et ''B'' d'un ensemble ''E'', l'ensemble noté <math>A\cap B:=\{x\in E / x\in A \text{ et } x\in B\}</math>, lire "E inter F".
}}
{{définition|contenu=
[[Image:Venn-or.svg|200px|left]]
On appelle '''réunion''' de deux parties quelconques ''A'' et ''B'' d'un ensemble ''E'',l'ensemble noté <math>A\cup B:=\{x\in E / x\in A \text{ ou } x\in B\}</math>.
}}
Exercice :
# Que dire de <math>A\cap E</math> et <math>A\cup\emptyset</math> pour <math>A\in\mathcal{P}(E)</math> ?
# Faire le lien entre connsecteurs logiques/quantificateurs et différence/réunion/intersection. On en déduit facilement la :
{{Théorème|titre=Proposition|contenu=
Soient ''A'', ''B'' et ''C'' trois parties d'un ensemble ''E''. On a alors les propriétés suivantes :
# Commutativité : <math>A\cap B=B\cap A</math> et <math>A\cup B=B\cup A</math>,
# Associativité : <math>(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)</math> et <math>(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)</math>,
# Distributivité de <math>\cap</math> sur <math>\cup</math> : <math>A\cap (B\cup C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)</math>
# Distributivité de <math>\cup</math> sur <math>\cap</math> : <math>A\cup (B\cap C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)</math>
# Lois de Morgan : <math>E\setminus(A\cap B)=(E\setminus A)\cup(E\setminus B)</math> et <math>E\setminus(A\cup B)=(E\setminus A)\cap(E\setminus B)</math>
}}
===Différence symétrique===
{{Théorème|Titre=Proposition et définition|contenu=
[[Image:Venn-xor.svg|200px|left]]
Soient ''A'' et ''B'' deux partie d'un ensemble ''E''.<br />
Alors (A\cup B) \setminus (A\cap B)</math>=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).<br />
On appelle '''différence symétrique''' de ''A'' et ''B'' cet ensemble qu'on note <math>A\Delta B</math>, il est formé des éléments qui sont ou bien dans ''A'' ou bien dans ''B''
}}
Exercice :
# Montrer que la différence symétrique est commutative et associative.
# Que dire de <math>A\Delta\emptyset</math>; de <math>A\Delta A</math> ?
# Montrer que <math>\cap</math> est distributive sur <math>\Delta</math>.
=Relations binaires=
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