« Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique » : différence entre les versions
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===Liens avec l'ordre, division euclidienne===
Dans <math>\N</math> l'ordre <math>\leq</math> est compatible avec l'addition et la multiplication au sens où
{{Théorème|titre=
Soit <math>(a,b)\in\N\times\N^*</math>. ( où <math>\N^*:=\N\setminus\{0\}</math>).<br />▼
<math>\begin{align}
Alors <math>\exists!(q,r)\in\N^2/ a=bq+r \text{ et } 0\eq q <r</math>.<br />▼
\forall a,b,c\in\N,\, & a\leq b \Leftrightarrow a+c\leq b+c \\
<math>q</math> (resp: <math>r</math>) est appelé le '''quotient''' (resp: le '''reste''') de la division euclidienne de <math>a</math> par <math>b</math>.▼
& a\leq b \Rightarrow ac\leq bc
\end{align}</math>.
}}
La preuve étant laissé en exercice.
{{Théorème|titre=Proposition|contenu=
<math>\forall a,b\in\N,\,a\leq b \Leftrightarrow \exists! c\in\N / a+c=b</math>.<br />
Cet unique entier est noté <math>b-a</math>.
}}
{{boîte déroulante|align=left|alignT=center|titre=Preuve|contenu=
<math>\Rightarrow</math>
* Existence : On fixe <math>a\in\N</math>. Soit donc <math>b\geq a</math>. Si <math>b=a</math> alors ''0'' convient. Sinon, alors <math>b>a\geq 0</math> et <math>\sigma^{-1}(b)\geq a</math>, on lui applique une hypothèse de récurrence bien choisie, pour obtenir <math>\sigma^{-1}(b)=a+c</math> et donc <math>b=a+(c+1)</math>.
* Unicité : Si <math>a+c=b=a+c'</math>, alors d'après la proposition précédente <math>c\leq c'</math> mais aussi <math>c'\leq c</math>, d'où l'égalité cherchée.
<math>\Leftarrow</math> : Supposant le contraire on a <math>a>b</math> et donc d'après l'existence dans <math>\Rightarrow</math> il existe <math>a=b+c'=a+c+c'</math>. D'après l'unicité <math>c+c'=0\leq c</math>, on utilise la première proposition pour avoir <math>c'\leq 0</math> et donc <math>c'=0</math> qui donne finalement la contradiction <math>a=b</math>.
}}
{{Théorème|titre=Proposition|contenu=
▲
On résume ce fait en disant que l'ordre est '''archimédien''' sur <math>\N</math>.
}}
{{boîte déroulante|align=left|alignT=center|titre=Preuve|contenu=
On considère l'ensemble <math>A:=\{n\in\N / nb \leq a\}</math> qui contient ''0'' et est majoré par <math>a</math>, essentiellement car <math>b\geq 1</math>.<br />
On appelle ''q'' son plus grand élément, ''q+1'' n'étant pas dans ''A'', il convient.
}}
Le résultat qui suit est une amélioration de ce dernier :
{{Théorème|titre=Théorème et définition|contenu=
Soit <math>(a,b)\in\N\times\N^*</math>.<br />
▲<math>q</math> (resp: <math>r</math>) est appelé le '''quotient''' (resp: le '''reste''') de la '''division euclidienne''' de <math>a</math> par <math>b</math>.
}}
{{boîte déroulante|align=left|alignT=center|titre=Preuve|contenu=
* On reprends les notation de la preuve précédente, et on pose <math>q:=\max A</math>. Ainsi <math>qb\leq a</math>, on peut donc poser <math>r:=a-bq</math>. On a déjà <math>a=bq+r</math>. Comme <math>q+1\notin A,\, a<(q+1)b</math>, ainsi <math>r=a-bq<b</math>, ce qui prouve l'existence.<br />
* Traitons l'unicité : on suppose disposer de deux tels couples <math>(q,r)</math> et <math>(q',r')</math>. Supposons un instant <math>q\neq q'</math>. Quitte à permuter <math>q</math> et <math>q'</math>, on peut supposer <math>q<q'</math>, ie <math>1\leq q'-q</math>. On a alors <math>b\leq b(q'-q)=r-r'</math>. Par ailleurs comme <math>r<b</math>, on a <math>r-r'<b</math> qui fournit l'absurdité, donc : <math>q=q'</math>. Par suite <math>r=r'</math>.
}}
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