« Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique » : différence entre les versions
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{{Théorème|titre=Proposition|contenu=
Si un ensemble <math>E</math> est infini, il existe une injection <math>\phi:\N\rightarrow E</math>.
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{{boîte déroulante|align=left|alignT=center|titre=Preuve|contenu=
A nouveau on peut construire pour tout <math>n\in\N</math> une injection <math>\phi_n:\N_n\rightarrow E</math> telle que <math>\forall n\in\N,\, \phi_{n+1}(n)=\phi_n(n)</math>. On pose alors <math>\phi:\N\rightarrow E,n\mapsto \phi_n(n)</math>, il reste à vérifier que <math>\phi</math> est bien injective : si on se donne <math>m,n\in\N / \phi(m)=\phi(n)</math>, alors pour <math>\mu:=\max\{m,n\}</math> on a <math>\phi_{\mu}(m)=\phi_{\mu}(n)</math> et par construction <math>\phi_{\mu}</math> est injective, d'où <math>m=n</math>.
}}
En quelque sorte, <math>\N</math> est le plus petit ensemble infini, on s'interresse plus particulièrement à sa "classe d'équivalence" dans la section suivante.
===Ensembles dénombrables===
{{Définition|titre=Définition : ensemble dénombrable|contenu=
Un ensemble ''E'' est dit '''dénombrable'''
}}
# Tout ensemble de cardinal fini est dénombrable ;▼
Outre l'intéret purement théorique de cette notion, et des "cardinaux infinis", on peut cité quelques exemples d'application. On les mentionne pour culture, car il suppose une certaine familiarité avec des notions non encore introduites (dans de prochains cours, qui sait).
Voici d'abord quelques exemples classiques d'ensembles dénombrables:
# <math>\N</math> est dénombrable ;
# <math>\Z</math> est dénombrable ;
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Remarque : souvent, montrer qu'un ensemble est dénombrable consiste à expliciter une bijection de cet ensemble vers <math>\N</math> ou vers un autre ensemble dénombrable.
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:1.
:2.
:3.
:4.
Remarque : on peut également expliciter une bijection de <math>\N</math> sur <math>\Q</math> dans cette dernière preuve, par un procédé analogue à celui utilisé en (4), appelé ''diagonalisation'' ou ''procédé diagonal''.
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On note <math>\aleph_0\,</math> (lire « aleph-0 ») le cardinal des entiers naturels. Un ensemble a <math>\aleph_0\,</math> pour cardinal si et seulement s'il est infini et dénombrable.
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La question qui se pose est alors : l'ensemble des nombres réels est-il un ensemble dénombrable ? La réponse, comme nous allons le voir, est non : <math>\R</math> n'est pas dénombrable. Cet ensemble, infini, est d'une toute autre nature. La démonstration qui suit utilise un procédé diagonal et un raisonnement par l'absurde.
{{
Procédons par l'absurde : considérons l'intervalle [0, 1[. On le suppose dénombrable, si bien que l'on peut affecter à chacun de ses nombres un numéro. D'autre part, tout réel ''x''<sub>''i''</sub> de cet intervalle peut s'écrire sous forme décimale :
:<math>x_i = 0, x_{i,1} x_{i,2} x_{i,3} x_{i,4}\ldots</math>
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Par conséquent, [0, 1[ n'est pas dénombrable, or il s'agit d'une partie de <math>\R</math>, donc <math>\R</math> n'est pas dénombrable.
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On peut même montrer que <math>\R\sim\mathcal{P}(\N)</math>, par contre on ne sait pas [ou plutot meme,enfin je crois, on sait qu'on ne sait pas décider] s'il existe des ensembles strictement compris, au sens de l'injection, entre <math>\N</math> et <math>\R</math> : c'est '''l'hypothèse du continue'''. On admet souvent qu'il n'y a rien entre les deux et on note alors <math>\aleph_1</math> le cardinal de la classe de <math>\R</math> : on parle d'ensemble ayant la '''puissance du continu'''.
Puisque l'ensemble des entiers naturels est compris dans celui des nombres réels, et que l'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable, <math>\R</math> est dans un certain sens « strictement plus grand » que <math>\N</math>. De ceci, on établit des résultats importants :
{{Théorème|titre=Existence des nombres
'''Existence des nombres irrationnels :'''▼
* L'ensemble des réels est indénombrable, et contient <math>\Q</math>.▼
Par conséquent, il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels, appelés '''nombres irrationnels''', et l'ensemble <math>\R \setminus \Q</math> des nombres irrationnels est indénombrable.
'''Existence des nombres transcendants :'''
* L'ensemble des suites finies d'entiers naturels (donc, relatifs) est dénombrable.
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Par conséquent, l'ensemble des nombres qui sont racines d'un polynôme à coefficients entiers est dénombrable. Or l'ensemble des nombres réels est indénombrable : il existe donc des nombres qui ne sont pas de telles racines, appelés '''nombres transcendants''', et l'ensemble des nombres transcendants est indénombrable.
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▲'''Existence des nombres irrationnels :'''
▲* L'ensemble des réels est indénombrable, et contient <math>\Q</math>.
▲Par conséquent, il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels, appelés '''nombres irrationnels''', et l'ensemble <math>\R \setminus \Q</math> des nombres irrationnels est indénombrable.}}
Remarque : contrairement à l'intuition, il y a « ''infiniment'' plus » de nombres transcendants ou irrationnels (comme ''π'', racine de 2 ou ''e'') que de nombres « naturels » (comme 0, 1 ou ½).
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