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« Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique » : différence entre les versions

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Ligne 469 :
Puisque <math>f\circ g=id_F</math> est bijective elle est surjective donc <math>f</math> aussi.<br />
Puisque <math>g\circ f=id_E</math> est bijective elle est injective donc <math>f</math> aussi.<br />
AÀ ce stade on a prouvé que <math>f</math> est bijective, on dispose donc de <math>f^{-1}</math>. Montrons que c'est <math>g</math>. Ces deux applications ont même source et même but, et fixant <math>y\in F</math>, on a <math>f(g(y))=y</math>, ''ie.'' que <math>g(y)</math> est l'antécédent de <math>y</math> par <math>f</math>. par définition de <math>f^{-1},\, g(y)=f^{-1}(y)</math>.
}}
 
Ligne 482 :
{{boîte déroulante|align=left|alignT=center|titre=Preuve|contenu=
Pour le premier point on applique la proposition précédente à <math>f\circ f^{-1}=id_F</math> et <math>f^{-1}\circ f=id_E</math>.<br />
Pour le second, on constate que les deux applications ont bien même source et même but. Enfin pour <math>x\in E</math> on a <math>f^{-1}(f(x))=x</math>, ''ie.'' que <math>f(x)</math> est l'antécédent de <math>x</math> par <math>f^{-1}</math>.
}}
 
Ainsi pour montrer qu'une application est bijective on peut :
* ou bien le faire à la main : à <math>y</math> fixé dans <math>F</math>, on montre qu'il existe un seul et unique antécédent, ;
* ou bien construire une bijection réciproque (qui s'avereavère être la bijection réciproque).
 
==Familles==
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