« Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique » : différence entre les versions

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===Définitions de la somme et du produit dans <math>\N</math>===
 
On a bien sur reconnu en <math>\N</math> notre ensemble usuel pour compter, ceci fera l'objet du prochain chapitre, mais avant cela il nous faut donner un sens à l'l’'''addition''' et la '''multiplication'''. Faisons le proprement ici : Pour un élément <math>m\in\N</math>, on définit la suite suivante par récurrence :

:<math>\begin{cases} s^m_0 = m \\  s^m_{\sigma(n)} = \sigma(s^m_n), \forall n \geq 1 \end{cases}</math>.

On note alors <math>m+n:=s^m_n</math>.
 
{{Théorème|titre=Proposition|contenu=
<math>\forall m\in\N,\, m+0=0+m=m\,</math>.
}}
 
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On montre l'autre égalité par récurrence sur <math>m</math>. L'initialisation est encore la définition de la somme. Supposant que <math>0+m=m</math>, on en déduit <math>0+\sigma(m)=s^0_{\sigma(m)}=\sigma(s^0_m)=\sigma(0+m)=\sigma(m)</math>. Ceci étant valable pour tout <math>m\in\N</math>, on conclut grâce au théorème de récurrence.
}}
 
On remarque alors que <math>\forall n\in\N,\, \sigma(n)=\sigma(n+0)=\sigma(s^n_0)=s^n_{\sigma(0)}=n+\sigma(0)=n+1</math>. DorénavanDorénavant, on utilisera volontiers cette égalité.
 
Exercice : Montrer qu'on à également <math>\forall n\in\N,\, \sigma(n)=1+n</math>
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}}
 
Remarque : Onon résumera bientôt c'estces trois propositions en disant que <math>(\N,+)</math> est un monoïde commutatif.
 
Exercice :
# En lisant les preuves, bien justifier (dans sa tête, ça suffit) chaque égalité, par exemple quand a-t-on utilisé l'exercice précédent ?
# AÀ titre d'entraînement faire les preuves des propositions suivantes concerantconcernant la multiplication.
 
On définit maintenant à <math>m</math> fixé dans <math>\N</math>, la suite <math>\begin{cases}p^m_0=0 \\ p^m_{\sigma(n)}=p^m_n +m, \forall n\geq 1\end{cases}</math>, et on note bien sur <math>m\times n:=p^m_n, \forall m,n\in\N</math>, bien qu'on omette souvent le signe <math>\times</math> ou qu'on le remplace par <math>\cdot</math>.
 
On définit maintenant à <math>m</math> fixé dans <math>\N</math>, la suite <math>\begin{cases}p^m_0=0 \\ p^m_{\sigma(n)}=p^m_n +m, \forall n\geq 1\end{cases}</math>, et on note bien sursûr <math>m\times n:=p^m_n, \forall m,n\in\N</math>, bien qu'on omette souvent le signe <math>\times</math> ou qu'on le remplace par <math>\cdot</math>.
 
{{Théorème|titre=Proposition|contenu=