« Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique » : différence entre les versions
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m →Avec l'équivalence : mini typo |
m →Définitions de la somme et du produit dans \N : mini ortho, TeX |
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===Définitions de la somme et du produit dans <math>\N</math>===
On a bien sur reconnu en <math>\N</math> notre ensemble usuel pour compter, ceci fera l'objet du prochain chapitre, mais avant cela il nous faut donner un sens à
:<math>\begin{cases} s^m_0 = m \\ On note alors <math>m+n:=s^m_n</math>. {{Théorème|titre=Proposition|contenu=
<math>\forall m\in\N,\, m+0=0+m=m\,</math>.
}}
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On montre l'autre égalité par récurrence sur <math>m</math>. L'initialisation est encore la définition de la somme. Supposant que <math>0+m=m</math>, on en déduit <math>0+\sigma(m)=s^0_{\sigma(m)}=\sigma(s^0_m)=\sigma(0+m)=\sigma(m)</math>. Ceci étant valable pour tout <math>m\in\N</math>, on conclut grâce au théorème de récurrence.
}}
On remarque alors que <math>\forall n\in\N,\, \sigma(n)=\sigma(n+0)=\sigma(s^n_0)=s^n_{\sigma(0)}=n+\sigma(0)=n+1</math>.
Exercice : Montrer qu'on à également <math>\forall n\in\N,\, \sigma(n)=1+n</math>
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}}
Remarque :
Exercice :
# En lisant les preuves, bien justifier (dans sa tête, ça suffit) chaque égalité, par exemple quand a-t-on utilisé l'exercice précédent ?
#
On définit maintenant à <math>m</math> fixé dans <math>\N</math>, la suite <math>\begin{cases}p^m_0=0 \\ p^m_{\sigma(n)}=p^m_n +m, \forall n\geq 1\end{cases}</math>, et on note bien sur <math>m\times n:=p^m_n, \forall m,n\in\N</math>, bien qu'on omette souvent le signe <math>\times</math> ou qu'on le remplace par <math>\cdot</math>.▼
▲On définit maintenant à <math>m</math> fixé dans <math>\N</math>, la suite <math>\begin{cases}p^m_0=0 \\ p^m_{\sigma(n)}=p^m_n +m, \forall n\geq 1\end{cases}</math>, et on note bien
{{Théorème|titre=Proposition|contenu=
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