« Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique » : différence entre les versions
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[Je viens de relir le tout. J'ai suivi ton habitude de préciser les définition et les théorème dans le titre. J'ai viré les crochets qui jalonnait la page en mettant des exos à la place. pour la dernière section, j'ai fais quelques retouches, j'ai vu que tu les avais vu, voilà je vais etre devant mon ordi si tu veux en reparler, sinon on peut le balancer ce truc là je crois ?]
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==Assertions==
{{Définition|titre= Définition : assertion|contenu=
On appelle '''assertion''' (ou '''proposition''') toute phrase à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité : ou bien ''vrai'' ou bien ''faux''. Il s'agit d'une logique binaire obéissant à la [[w:Principe du tiers exclu|règle du tiers exclu]].
}}
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==Prédicats, quantificateurs==
{{Définition|titre=Définition : prédicat|contenu=
Soit ''E'' un ensemble [on verra plus loin « ce » que c'est…]. On appelle '''prédicat sur''' '''''E''''' la donnée, pour chaque élément ''x'' de ''E'', d'une assertion ''P''(''x'').}}
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* <math> \text{non}(\forall x\in E, P(x))\Leftrightarrow (\exists x\in E / \text{non}\, P(x))</math>
=Notion d'ensemble=
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===Différence, complémentaire===
{{définition|titre=Définition : différence|contenu=
[[Image:Venn-not.svg|200px|left]]
On appelle '''différence''' ''A'' et ''B'' dans cet ordre, pour deux parties d'un ensemble ''E'', l'ensemble noté <math>A\setminus B:=\{x\in E/ x\in A \text{ et } x\notin B\}</math>.
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===Intersection, réunion===
{{définition|titre=Définition : intersection|contenu=
[[Image:Venn-and.svg|200px|left]]
On appelle '''intersection''' de deux parties quelconques ''A'' et ''B'' d'un ensemble ''E'', l'ensemble noté <math>A\cap B:=\{x\in E / x\in A \text{ et } x\in B\}</math>, lire « ''E'' inter ''F'' ».
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{{définition|titre=Définition : réunion|contenu=
[[Image:Venn-or.svg|200px|left]]
On appelle '''réunion''' de deux parties quelconques ''A'' et ''B'' d'un ensemble ''E'', l'ensemble noté <math>A\cup B:=\{x\in E / x\in A \text{ ou } x\in B\}</math>.
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# Faire le lien entre connecteurs logiques/quantificateurs et différence/réunion/intersection. On en déduit facilement la :
{{Théorème|titre=
Soient ''A'', ''B'' et ''C'' trois parties d'un ensemble ''E''. On a alors les propriétés suivantes :
# Commutativité : <math>A\cap B=B\cap A</math> et <math>A\cup B=B\cup A</math>,
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===Différence symétrique===
{{Théorème|Titre=Proposition et définition : différence symétrique|contenu=
[[Image:Venn-xor.svg|200px|left]]
Soient ''A'' et ''B'' deux partie d'un ensemble ''E''.<br />
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===Définition, exemples===
{{Définition|titre=Définition et notation : relations binaires|contenu=
On appelle '''relation binaire''' sur ''E'', toute partie de ''E'' × ''E''.
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Exemples :
# Pour <math>E=\mathbb{N}</math>
# L'égalité (<math>=</math>) sur <math>E</math> provient de <math>\Delta=\{ (x,x), x \in E\}</math>. Ici on préfèrera <math>x=y</math> à <math>x \Delta y</math>.
# L'inclusion sur <math>\mathcal{P}(E)</math> : <math>\mathcal{R}=\{ (X,Y)\in\mathcal{P}(E)^2 / X\subset Y\}</math>.
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* '''antisymétrique''' ssi <math>\forall x,y \in E, x\mathcal{R}y\, \text{et}\, y\mathcal{R}x \Rightarrow x=y</math> (exemples 1, 2, 3, et 4).
==
{{Définition|titre=Définitions et notations : relations d'équivalence|contenu=
On appelle '''relation d'équivalence''' sur ''E'' toute relation binaire <math>\mathcal{R}</math> sur ''E'' à la fois ''réflexive'', ''transitive'' et ''symétrique''.
Pour tout <math>x\in E</math> on appelle '''classe d'équivalence''' de ''x'' modulo <math>\mathcal{R}</math> la partie de ''E'' notée <math>\overline{x}:=\{ y\in E / x\mathcal{R} y \}</math>.
}}
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{{Définition|titre=Définition : ensemble quotient|contenu=
L'ensemble de ces classes d'équivalence, qui est une partie de <math>\mathcal{P}(E)</math> est appelé '''ensemble quotient de <math>E</math> par <math>\mathcal{R}</math>''', noté <math>E/\mathcal{R}</math>.
}}
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}}
Exercice : Etant donnée une partition de <math>E</math>, définir une relation d'équivalence canoniquement associée à la partition. Quelles en sont les classes d'équivalence ?
{{Définition|titre=Définition : projection canonique|contenu=
On définit l'application <math>\pi : E \rightarrow E/\mathcal{R}, x \mapsto \overline{x}</math>. C'est une projection, appelée '''projection''' (ou '''surjection''') '''canonique'''.}}
==
{{Définition|titre=Définitions et notations : relations d'ordre, ensembles ordonnés, ordres totaux|contenu=
On appelle '''relation d'ordre''' sur ''E'' toute relation binaire <math>\mathcal{R}</math> sur ''E'' à la fois ''réflexive'', ''transitive'' et ''antisymétrique''.
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Éléments remarquables d'un ensemble ordonné <math>(E,\leq)</math> :
{{Théorème|titre=Proposistion et définition : plus petit et plus grand éléments|contenu=
Soit <math>A\subset E</math>.
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{{Définition|titre=Définitions : majorants, minorants, bornes supérieure et inférieure|contenu=
Une partie <math>A\subset E</math> est dite '''majorée''' (''resp'' : '''minorée''') ssi <math>\exists m\in E / \forall x\in A , x\leq m</math>.
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}}
Exercices :
# Soit <math>\leq</math> un ordre sur <math>E</math>. On définit <math>\geq</math>, par <math>\forall x,y\in E,\, x\geq y\Leftrightarrow y\leq x</math>. Montrer que c'est un ordre. Quelles en sont les éléments remarquables ?
# Soit <math>\leq</math> une relation binaire sur <math>E</math> transitive et reflexive. Montrer que la relation binaire définie par <math>\forall x,y\in E,\, x\sim y \Leftrightarrow x\leq y \text{ et } y\leq x</math> est une relation d'équivalence. Munir le quotient d'un ordre canonique.
=Applications=
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Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux ensembles.
{{Définition|titre=Définition : graphe|contenu=
On appelle '''graphe''' de <math>E</math> vers <math>F</math> toute partie de <math>E\times F</math>.<br />
On appelle '''application''' de <math>E</math> vers <math>F</math> tout triplet <math>f=(E,F,\Gamma)</math> où <math>\Gamma</math> est un graphe de <math>E</math> vers <math>F</math> tel que : <math>\forall x\in E, \exists ! y\in F / (x,y)\in\Gamma</math>
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Soit <math>f:E\rightarrow F</math> une application et <math>A\subset E</math>.
{{Définition|titre=Définitions : restriction, corestriction|contenu=
On appelle '''restriction''' de <math>f</math> à <math>A</math>, notée <math>f_{|A}\,</math>, l'application <math>f_{|A}: A\rightarrow F,\, x\mapsto f(x)</math>.
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Soient <math>f:E\rightarrow F</math> une application et <math>y\in F</math>
{{Définition|titre=Définition : antécédent|contenu=
On appelle antécédent de <math>y</math> par <math>f</math> tout élément <math>x\in E</math> tel que f(x)=y.
}}
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Exemple : pour <math>f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\, x\mapsto x^2</math>; <math>-2</math> n'a pas d'antécédent alors que <math>2</math> en a deux.
{{Définition|Définitions= injections, surjections, bijections|contenu=
On dit que <math>f</math> est '''injective''' ssi tout élément de <math>F</math> a au plus un antécédent dans <math>E</math>, cela équivaut à <math>\forall x,x'\in E ,\, x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x')</math> où encore, en contraposant, <math>\forall x,x'\in E,\, f(x)=f(x') \Rightarrow x=x'</math>.<br />
On dir que <math>f</math> est '''surjective''' ssi tout élément de <math>F</math> a au moins un antécédent dans <math>E</math>, ie <math>\forall y\in F, \exists x\in E / f(x)=y</math>.<br />
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==Familles==
{{Définition|titre=Définitions et notations : familles, suites|contenu=
Soit <math>I</math> et <math>E</math> deux ensembles.
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* <math>f^{-1}(F)=E</math> alors qu'en générale <math>f(E)\neq F</math>. C'est le cas ssi <math>f</math> est surjective.
Exercice : étudier l'injectivité/surjectivité/bijectivité des applications <math>\mathcal{P}(E)\rightarrow\mathcal{P}(F), A\mapsto f(A)</math> et <math>\mathcal{P}(F)\rightarrow\mathcal{P}(E), B\mapsto f^{-1}(B)</math> en fonction de celles de <math>f:E\rightarrow F</math>.
===Fibres===
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==Axiomatique de Peano==
{{Définition|titre=Axiome : dit de Peano|contenu=
Il existe une ensemble ordonné non vide <math>(\mathbb{N},\leq)</math>, appelé ensemble des '''entiers naturels''' et vérifiant :
* (N1) : Toute partie non vide de <math>\mathbb{N}</math> admet un plus petit élément,
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\end{align}</math>.
}}
La preuve étant
{{Théorème|titre=Proposition|contenu=
<math>\forall a,b\in\N,\,a\leq b \Leftrightarrow \exists! c\in\N / a+c=b</math>.<br />
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Ceci permet de définir
{{Définition|titre=Définition : ensembles finis, cardinal|contenu=
On dit d'un ensemble <math>E</math> qu'il est '''fini''' ssi il existe <math>n\in\mathbb{N}</math> tel que <math>E</math> soit en bijection avec <math>\mathbb{N}_n</math>.<br />
Dans ce cas cet entier est unique, et appelé '''cardinal''' de <math>E</math>, noté <math>\#E</math>.
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De plus l'application <math>\mathcal{A}_n^p\rightarrow \mathcal{P}_p(E), (x_k)_{1\leq k \leq p}\mapsto \{x_1,x_2,\dots,x_k\}</math> est surjective et chaque fibre contient <math>p!</math> éléments : c'est le nombre de façon d'ordonner le <math>p</math>-uplet <math>(x_k)_{1\leq k \leq p}</math>. On obtient donc, en vertu de la partition en fibres <math>\# \mathcal{A}_n^p=p! \#\mathcal{P}_p(E)</math>. Finalement <math>C_n^p=\begin{cases}\frac{n!}{p!(n-p)!} \text{ si } p\leq n \\ 0 \text { sinon}\end{cases}</math>. On préfèrera désormais la notation <math>\binom{n}{p}</math>, lire « <math>p</math> parmi <math>n</math> », à celle plus franco-française <math>C_n^p</math>. En résumé, on a obtenu le
{{Théorème|titre=Théorème : coefficients binomiaux|contenu=
Soient <math>p,n</math> deux entiers.<br />
Le nombre de parties à <math>p</math> éléments d'un ensemble à <math>n</math> éléments est <math>\binom{n}{p}=\begin{cases}\frac{n!}{p!(n-p)!} \text{ si } p\leq n \\ 0 \text { sinon}\end{cases}</math>.
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==Les infinis==
===Généralités===
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La seconde question qui vient est : tous les ensembles infinis sont-ils équipotents entre-eux ? La proposition suivante y répond par la négative, mais laisse entre-voir une théorie intéressante traitant des cardinaux infinis.
{{Théorème|titre=
Soit <math>E</math> un ensemble.<br />
Alors il n'existe pas de surjection, et donc a fortiori de bijection, de <math>E</math> sur <math>\mathcal{P}(E)</math>.
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===Ensembles dénombrables===
{{Définition|titre=Définition :
Un ensemble ''E'' est dit '''dénombrable''' si et seulement s'il existe une bijection de ''E'' dans <math>\N</math>. On dira '''au plus dénombrable''' si l'ensemble est fini ou dénombrable.
}}
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