« Introduction aux mathématiques/Rudiments de logique » : différence entre les versions

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[Je viens de relir le tout. J'ai suivi ton habitude de préciser les définition et les théorème dans le titre. J'ai viré les crochets qui jalonnait la page en mettant des exos à la place. pour la dernière section, j'ai fais quelques retouches, j'ai vu que tu les avais vu, voilà je vais etre devant mon ordi si tu veux en reparler, sinon on peut le balancer ce truc là je crois ?]
Ceci est une ébauche de cours concernant un chapitre d'introduction assez général de maths, préalable à un cours de sup/deug.
il y sera question de rudiment de logique, d'ensembles, d'application, de relation binaire, d'entiers naturels. (liste modifiable)
 
Voilà un semblant de plan :
 
I Rudiments de logique (vrai/faux, assertion, non, et, ou, implique, équivaut, prédicats, quantificateurs)<br />
II Notion d'ensemble (basé sur le sens commun, opération, partie des ensembles...)<br />
III Relations binaires (ordres, équivalences)<br />
IV Applications (injection, surjection, bijection, images directes, réciproques, compatibilité avec l'ordre, l'équivalence)<br />
V Entiers naturels (axiomatiques de type Peano, successeur, récurrences, somme et produit dans N)<br />
VI Rudiments de combinatoire (équipotence, cardinaux finis, opération, principes de base, cardinaux usuels)
 
 
C'est ouvert bien sur, au boulot maintenant (va falloir apprendre à rédiger...)<br />
Bon, déjà le découpage leçon/chapitres : on verra mais pour l'instant y'a qu'a dire leçon d'introduction découpée en 6 chapitres. Ca fait des plus gros chapitres que ce que j'ai vu ici mais tant pis...
 
 
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==Assertions==
 
{{Définition|titre= Définition : assertion|contenu=
On appelle '''assertion''' (ou '''proposition''') toute phrase à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité : ou bien ''vrai'' ou bien ''faux''. Il s'agit d'une logique binaire obéissant à la [[w:Principe du tiers exclu|règle du tiers exclu]].
}}
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==Prédicats, quantificateurs==
{{Définition|titre=Définition : prédicat|contenu=
Soit ''E'' un ensemble [on verra plus loin « ce » que c'est…]. On appelle '''prédicat sur''' '''''E''''' la donnée, pour chaque élément ''x'' de ''E'', d'une assertion ''P''(''x'').}}
 
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* <math> \text{non}(\forall x\in E, P(x))\Leftrightarrow (\exists x\in E / \text{non}\, P(x))</math>
 
[C'est peut être le moment de faire un petit laïus sur les forme usuels de raisonnement comment on s'y prend pour montrer une implication, une équivalence, qu'est-ce qu'un raisonnement par l'absurde, ensuite viendrait une seconde partie sur les ensemble, mais pour l'essentiel je l'ai déjà vu quelque part alors on copiera collera avec l'accord de l'auteur, c'est donc le tour du III sur les relations binaires, mais là je vais manger :]
 
=Notion d'ensemble=
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===Différence, complémentaire===
{{définition|titre=Définition : différence|contenu=
[[Image:Venn-not.svg|200px|left]]
On appelle '''différence''' ''A'' et ''B'' dans cet ordre, pour deux parties d'un ensemble ''E'', l'ensemble noté <math>A\setminus B:=\{x\in E/ x\in A \text{ et } x\notin B\}</math>.
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===Intersection, réunion===
 
{{définition|titre=Définition : intersection|contenu=
[[Image:Venn-and.svg|200px|left]]
On appelle '''intersection''' de deux parties quelconques ''A'' et ''B'' d'un ensemble ''E'', l'ensemble noté <math>A\cap B:=\{x\in E / x\in A \text{ et } x\in B\}</math>, lire « ''E'' inter ''F'' ».
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{{définition|titre=Définition : réunion|contenu=
[[Image:Venn-or.svg|200px|left]]
On appelle '''réunion''' de deux parties quelconques ''A'' et ''B'' d'un ensemble ''E'', l'ensemble noté <math>A\cup B:=\{x\in E / x\in A \text{ ou } x\in B\}</math>.
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# Faire le lien entre connecteurs logiques/quantificateurs et différence/réunion/intersection. On en déduit facilement la :
 
{{Théorème|titre=PropositionPropriétés des opérations ensemblistes|contenu=
Soient ''A'', ''B'' et ''C'' trois parties d'un ensemble ''E''. On a alors les propriétés suivantes :
# Commutativité : <math>A\cap B=B\cap A</math> et <math>A\cup B=B\cup A</math>,
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===Différence symétrique===
{{Théorème|Titre=Proposition et définition : différence symétrique|contenu=
[[Image:Venn-xor.svg|200px|left]]
Soient ''A'' et ''B'' deux partie d'un ensemble ''E''.<br />
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===Définition, exemples===
{{Définition|titre=Définition et notation : relations binaires|contenu=
On appelle '''relation binaire''' sur ''E'', toute partie de ''E'' × ''E''.
 
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Exemples :
# Pour <math>E=\mathbb{N}</math> [tout le monde ce met d'accord pour double barré ou on met en gras ?], posons <math>\mathcal{R}=\{ (0,1), (3,7), (3,4), (1,1)\}</math>. On a <math>0\mathcal{R}1</math>, <math>3\mathcal{R}7</math>, <math>3\mathcal{R}4</math> mais pas <math>3\mathcal{R}5</math>.
# L'égalité (<math>=</math>) sur <math>E</math> provient de <math>\Delta=\{ (x,x), x \in E\}</math>. Ici on préfèrera <math>x=y</math> à <math>x \Delta y</math>.
# L'inclusion sur <math>\mathcal{P}(E)</math> : <math>\mathcal{R}=\{ (X,Y)\in\mathcal{P}(E)^2 / X\subset Y\}</math>.
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* '''antisymétrique''' ssi <math>\forall x,y \in E, x\mathcal{R}y\, \text{et}\, y\mathcal{R}x \Rightarrow x=y</math> (exemples 1, 2, 3, et 4).
 
==RelationRelations d'équivalence==
{{Définition|titre=Définitions et notations : relations d'équivalence|contenu=
On appelle '''relation d'équivalence''' sur ''E'' toute relation binaire <math>\mathcal{R}</math> sur ''E'' à la fois ''réflexive'', ''transitive'' et ''symétrique''.
 
Pour tout <math>x\in E</math> on appelle '''classe d'équivalence''' de ''x'' modulo <math>\mathcal{R}</math> la partie de ''E'' notée <math>\overline{x}:=\{ y\in E / x\mathcal{R} y \}</math>.
 
 
[ en exos, j'en ai pas encore fait, on peut demander les classes d'équivalence des relations 1/ 2/ 3/ 4/.].
}}
 
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{{Définition|titre=Définition : ensemble quotient|contenu=
L'ensemble de ces classes d'équivalence, qui est une partie de <math>\mathcal{P}(E)</math> est appelé '''ensemble quotient de <math>E</math> par <math>\mathcal{R}</math>''', noté <math>E/\mathcal{R}</math>.
}}
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}}
 
Exercice : Etant donnée une partition de <math>E</math>, définir une relation d'équivalence canoniquement associée à la partition. Quelles en sont les classes d'équivalence ?
[C'est pas d'une très grande élégance mais bon...]
 
 
{{Définition|contenu=
{{Définition|titre=Définition : projection canonique|contenu=
On définit l'application <math>\pi : E \rightarrow E/\mathcal{R}, x \mapsto \overline{x}</math>. C'est une projection, appelée '''projection''' (ou '''surjection''') '''canonique'''.}}
 
==RelationRelations d'ordre==
{{Définition|titre=Définitions et notations : relations d'ordre, ensembles ordonnés, ordres totaux|contenu=
On appelle '''relation d'ordre''' sur ''E'' toute relation binaire <math>\mathcal{R}</math> sur ''E'' à la fois ''réflexive'', ''transitive'' et ''antisymétrique''.
 
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Éléments remarquables d'un ensemble ordonné <math>(E,\leq)</math> :
 
{{Théorème|titre=Proposistion et définition : plus petit et plus grand éléments|contenu=
Soit <math>A\subset E</math>.
 
Ligne 346 ⟶ 333 :
 
 
{{Définition|titre=Définitions : majorants, minorants, bornes supérieure et inférieure|contenu=
Une partie <math>A\subset E</math> est dite '''majorée''' (''resp'' : '''minorée''') ssi <math>\exists m\in E / \forall x\in A , x\leq m</math>.
 
Ligne 354 ⟶ 341 :
}}
 
Exercices :
[des exos sur l'ordre inverse (facile), les préordres (la relation d'équivalence qu'on définit et l'ordre sur le quotient…]
# Soit <math>\leq</math> un ordre sur <math>E</math>. On définit <math>\geq</math>, par <math>\forall x,y\in E,\, x\geq y\Leftrightarrow y\leq x</math>. Montrer que c'est un ordre. Quelles en sont les éléments remarquables ?
# Soit <math>\leq</math> une relation binaire sur <math>E</math> transitive et reflexive. Montrer que la relation binaire définie par <math>\forall x,y\in E,\, x\sim y \Leftrightarrow x\leq y \text{ et } y\leq x</math> est une relation d'équivalence. Munir le quotient d'un ordre canonique.
 
=Applications=
Ligne 361 ⟶ 350 :
 
Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux ensembles.
{{Définition|titre=Définition : graphe|contenu=
On appelle '''graphe''' de <math>E</math> vers <math>F</math> toute partie de <math>E\times F</math>.<br />
On appelle '''application''' de <math>E</math> vers <math>F</math> tout triplet <math>f=(E,F,\Gamma)</math> où <math>\Gamma</math> est un graphe de <math>E</math> vers <math>F</math> tel que : <math>\forall x\in E, \exists ! y\in F / (x,y)\in\Gamma</math>
Ligne 379 ⟶ 368 :
Soit <math>f:E\rightarrow F</math> une application et <math>A\subset E</math>.
 
{{Définition|titre=Définitions : restriction, corestriction|contenu=
On appelle '''restriction''' de <math>f</math> à <math>A</math>, notée <math>f_{|A}\,</math>, l'application <math>f_{|A}: A\rightarrow F,\, x\mapsto f(x)</math>.
 
Ligne 413 ⟶ 402 :
Soient <math>f:E\rightarrow F</math> une application et <math>y\in F</math>
 
{{Définition|titre=Définition : antécédent|contenu=
On appelle antécédent de <math>y</math> par <math>f</math> tout élément <math>x\in E</math> tel que f(x)=y.
}}
Ligne 419 ⟶ 408 :
Exemple : pour <math>f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\, x\mapsto x^2</math>; <math>-2</math> n'a pas d'antécédent alors que <math>2</math> en a deux.
 
{{Définition|Définitions= injections, surjections, bijections|contenu=
On dit que <math>f</math> est '''injective''' ssi tout élément de <math>F</math> a au plus un antécédent dans <math>E</math>, cela équivaut à <math>\forall x,x'\in E ,\, x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x')</math> où encore, en contraposant, <math>\forall x,x'\in E,\, f(x)=f(x') \Rightarrow x=x'</math>.<br />
On dir que <math>f</math> est '''surjective''' ssi tout élément de <math>F</math> a au moins un antécédent dans <math>E</math>, ie <math>\forall y\in F, \exists x\in E / f(x)=y</math>.<br />
Ligne 500 ⟶ 489 :
==Familles==
 
{{Définition|titre=Définitions et notations : familles, suites|contenu=
Soit <math>I</math> et <math>E</math> deux ensembles.
 
Ligne 530 ⟶ 519 :
* <math>f^{-1}(F)=E</math> alors qu'en générale <math>f(E)\neq F</math>. C'est le cas ssi <math>f</math> est surjective.
 
Exercice : étudier l'injectivité/surjectivité/bijectivité des applications <math>\mathcal{P}(E)\rightarrow\mathcal{P}(F), A\mapsto f(A)</math> et <math>\mathcal{P}(F)\rightarrow\mathcal{P}(E), B\mapsto f^{-1}(B)</math> en fonction de celles de <math>f:E\rightarrow F</math>.
[un exo sur les lien entre l'injectivité/surjectivité/bijectivité de f et celles des applications image directe et image réciproque]
 
===Fibres===
Ligne 630 ⟶ 619 :
==Axiomatique de Peano==
 
{{Définition|titre=Axiome : dit de Peano|contenu=
Il existe une ensemble ordonné non vide <math>(\mathbb{N},\leq)</math>, appelé ensemble des '''entiers naturels''' et vérifiant :
* (N1) : Toute partie non vide de <math>\mathbb{N}</math> admet un plus petit élément,
Ligne 790 ⟶ 779 :
\end{align}</math>.
}}
La preuve étant laissélaissée en exercice.
{{Théorème|titre=Proposition|contenu=
<math>\forall a,b\in\N,\,a\leq b \Leftrightarrow \exists! c\in\N / a+c=b</math>.<br />
Ligne 866 ⟶ 855 :
 
Ceci permet de définir
{{Définition|titre=Définition : ensembles finis, cardinal|contenu=
On dit d'un ensemble <math>E</math> qu'il est '''fini''' ssi il existe <math>n\in\mathbb{N}</math> tel que <math>E</math> soit en bijection avec <math>\mathbb{N}_n</math>.<br />
Dans ce cas cet entier est unique, et appelé '''cardinal''' de <math>E</math>, noté <math>\#E</math>.
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De plus l'application <math>\mathcal{A}_n^p\rightarrow \mathcal{P}_p(E), (x_k)_{1\leq k \leq p}\mapsto \{x_1,x_2,\dots,x_k\}</math> est surjective et chaque fibre contient <math>p!</math> éléments : c'est le nombre de façon d'ordonner le <math>p</math>-uplet <math>(x_k)_{1\leq k \leq p}</math>. On obtient donc, en vertu de la partition en fibres <math>\# \mathcal{A}_n^p=p! \#\mathcal{P}_p(E)</math>. Finalement <math>C_n^p=\begin{cases}\frac{n!}{p!(n-p)!} \text{ si } p\leq n \\ 0 \text { sinon}\end{cases}</math>. On préfèrera désormais la notation <math>\binom{n}{p}</math>, lire « <math>p</math> parmi <math>n</math> », à celle plus franco-française <math>C_n^p</math>. En résumé, on a obtenu le
 
{{Théorème|titre=Théorème : coefficients binomiaux|contenu=
Soient <math>p,n</math> deux entiers.<br />
Le nombre de parties à <math>p</math> éléments d'un ensemble à <math>n</math> éléments est <math>\binom{n}{p}=\begin{cases}\frac{n!}{p!(n-p)!} \text{ si } p\leq n \\ 0 \text { sinon}\end{cases}</math>.
Ligne 1 042 ⟶ 1 031 :
 
==Les infinis==
[J'ai un peu retouché la section, en precisant que y'avait des trucs qui nécessitait un peu de "familiarité". M'en veut pas j'ai parler de truc au plus denombrable. Faudrait des liens bien trouvé pour ces notions compliqué qu'on effleur. Sinon je pense quand meme rajouter le truc sur les reunion au plus denombrable d'ensemble au plus denombrable, on aura le produit cartésien en corollaire. sinon je crois que ca peut etre publier...]
 
===Généralités===
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La seconde question qui vient est : tous les ensembles infinis sont-ils équipotents entre-eux ? La proposition suivante y répond par la négative, mais laisse entre-voir une théorie intéressante traitant des cardinaux infinis.
 
{{Théorème|titre=LemmeProposition|contenu=
Soit <math>E</math> un ensemble.<br />
Alors il n'existe pas de surjection, et donc a fortiori de bijection, de <math>E</math> sur <math>\mathcal{P}(E)</math>.
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===Ensembles dénombrables===
 
{{Définition|titre=Définition : ensembleensembles dénombrabledénombrables|contenu=
Un ensemble ''E'' est dit '''dénombrable''' si et seulement s'il existe une bijection de ''E'' dans <math>\N</math>. On dira '''au plus dénombrable''' si l'ensemble est fini ou dénombrable.
}}