« Mécanique des milieux continus/Description de l’évolution du milieu continu » : différence entre les versions
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Connaître le mouvement, c’est connaître la fonction <math>\phi\,</math> qui permet de faire la transformation entre les deux états étudiés (<math>D_0</math> et <math>D_t</math>).<br/>
{{Définition|titre=Hypothèses|contenu=
*Un point M est issu d’un seul point <math>M_0</math>.<br/>
On appelle trajectoire la courbe suivie par le point M0 au cours du temps.<br/>
*On suppose que les trajectoires ne se mélangent pas.<br/>
*On suppose que la fonction <math>\phi\,</math> est continu et dérivable au moins 2 fois par rapport au temps.<br/>
*On suppose que la fonction <math>\phi\,</math> est inversible par rapport à X. A tout instant t, <math>\vec x = \vec \phi(\vec X,t)</math> peut s’inverser en <math>\vec X =\vec \psi(\vec x,t)</math>.
}}
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Connaître le mouvement peut se regarder d’une deuxième façon : c’est d’être capable de dire où se trouvait à l’instant 0 la particule qui se trouve en x à l’instant t.<br/>
Les 4 variables (<math>X_1</math>, <math>X_2</math>, <math>X_3</math>, t) sont dites variables de Lagrange. C’est le choix de variable que l’on fait quand on exprime le mouvement de <math>\vec x =\vec \phi(\vec X,t)</math>.<br/>
Les 4 variables (<math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math>, t) sont dites variables d'Euler. C’est le choix de variable que l’ont fait quand on veut exprimer le mouvement de <math>\vec X =\vec \psi(\vec x,t)</math><br/>.
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<u>Exemple :</u> La vitesse d’un point M peut être exprimée en fonction de <math>M_0</math> et de t (variables de Lagrange) ou en fonction de M et de t (variables d’Euler).<br/>
<br/>
Un solide rigide est un milieu continu particulier. Il garde toujours la même forme. Son champ des vitesses s’exprime facilement en variables d’Euler.<br>
<u>Rappel :</u> <math>\overrightarrow{V(M/T_0)} = \overrightarrow{V(G/T_0)} + \overrightarrow{\Omega(S/T_0)} \wedge \overrightarrow{GM}</math> avec <math>T_0=(O;\vec e_1;\vec e_2;\vec e_3)</math> (Pour un solide indéformable).<br/>
<math>\overrightarrow{V(G/T_0)}</math> et <math>\overrightarrow{\Omega(S/T_0)}</math> : ne dépendent que du temps.<br/>
<math>\overrightarrow{GM}</math> : Position actuelle à l’instant t.<br/>
<br/>
Notation : {{entête tableau charte}}
|-----
| <math>y_1(t)</math>
| <math>y_2(t)</math>
| <math>y_3(t)</math>
| coordonnée du centre d’inertie
|-{{ligne grise}}
| <math>\omega_1(t)</math>
| <math>\omega_2(t)</math>
| <math>\omega_3(t)</math>
| composantes du vecteur rotation instantané
|-----
| <math>\frac{dy_1(t)}{dt}</math>
| <math>\frac{dy_2(t)}{dt}</math>
| <math>\frac{dy_3(t)}{dt}</math>
| composantes de la vitesse de G
|}
<br/>
La vitesse du point M a pour composantes :<br/>
<center><math> \begin{matrix}
V_1(x_1,x_2,x_3,t) = \frac{dy_1(t)}{dt} + \omega_2(t) \left[ x_3-y_3(t) \right] - \omega_3(t) \left[ x_2-y_2(t) \right]\\
V_2(x_1,x_2,x_3,t) = \frac{dy_2(t)}{dt} + \omega_3(t) \left[ x_1-y_1(t) \right] - \omega_1(t) \left[ x_3-y_3(t) \right]\\
V_3(x_1,x_2,x_3,t) = \frac{dy_3(t)}{dt} + \omega_1(t) \left[ x_2-y_2(t) \right] - \omega_2(t) \left[ x_1-y_1(t) \right]
\end{matrix}
</math></center>
<br/>
Ou encore <center><math>\vec V(\vec x,t) = \frac{d\vec y(t)}{dt} + \vec \omega \wedge \left[\vec x - \vec y(t) \right]</math></center><br/>
Comme on prend toujours le même repère <math>T_0</math>, on ne le précise pas mais on précise bien les 4 variables <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math> et t.
==Vitesse==
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