« Mécanique des milieux continus/Description de l’évolution du milieu continu » : différence entre les versions
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Le vecteur <math>\frac{\partial \vec \phi(\vec X,t)}{\partial t}</math> peut être ré exprimé en varaiable d’Euler puisque <math>\vec X =\vec \psi(\vec x,t)</math>. En faisant le remplacement de <math>\vec X</math> par <math>\vec \psi(\vec x,t)</math> on obtient :<br/>
<center><math>\vec V(\vec X,t) = \frac{\partial \vec \phi(\vec X,t)}{\partial t} \qquad -> \qquad \vec V(\vec x,t)= \frac {\partial \vec \phi(\vec \psi(\vec x,t),t)}{\partial t}</math></center>
=== Méthode pratique pour exprimer la vitesse en variable d’Euler ===
# Dérivée partiellement par rapport au temps la position <math>\vec x =\vec \phi(\vec X,t)</math>. On obtient un vecteur <math>\frac{\partial \vec \phi(\vec X,t)}{\partial t}</math>.<br/>
# Inverser <math>\vec x =\vec \phi(\vec X,t)</math> en <math>\vec X =\vec \psi(\vec x,t)</math>.<br/>
# Remplacer <math>\vec X</math> par <math>\vec \psi(\vec x,t)</math> dans <math>\frac{\partial \vec \phi(\vec X,t)}{\partial t}</math>.<br/>
<br/>
{{Définition|titre=Exemple - Dilatation d'une boule|contenu=
[[Image:Chap2 vitesse 1.JPG|right|Représentation d'une boule qui se dilate]]
Facteur de dilatation <math>\lambda (t)</math> supposé dérivable et positif.<br/>
Le vecteur <math>\vec x</math> est définit par <math>\vec x(\vec X,t)=\lambda (t) \vec X</math>.<br/>
A l'instant t=0, <math>\vec x</math> est en <math>\vec X</math> (position initiale) ce qui implique que <math>\lambda (0)=1</math>.<br/>
<br/>
# <math>\frac{\partial \vec \phi(\vec X,t)}{\partial t} = \frac {d \lambda (t)}{dt} \vec X</math> <br/>
# <math>\vec x(\vec X,t)= \vec \phi(\vec X,t) =\lambda (t) \vec X \quad \to \quad \vec X = \frac {1}{\lambda (t)} \vec x </math><br/>
# <math>\frac{\partial \vec \phi(\vec X,t)}{\partial t} = \frac {d \lambda (t)}{dt} \vec X = \frac {d \lambda (t)}{dt} \frac {1}{\lambda (t)} \vec x </math><br/>
<br/>
La vitesse est donc égale à : <math>\vec V(\vec x,t)= \frac {d \lambda (t)}{dt} \frac {1}{\lambda (t)} \vec x </math> (vitesse colinéaire à <math>\vec x \to</math> déformation radiale)
}}
== Accélération ==
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