« Application linéaire/Exercices/Application directe » : différence entre les versions
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{{Exercice|titre=Application directe|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Application linéaire]]|chapitre=[[Application linéaire/Définitions|Définitions]]|numero=1|niveau=13}}
==Être ou ne pas être une application linéaire ?==
u_1&:&\R^3&\rightarrow&\R\\
~&~&(x,y,z)&\mapsto&x-y+3z
\end{array}</math>
u_2&:&\R^3&\rightarrow&\R\\
~&~&(x,y,z)&\mapsto&-x-2y+2
\end{array}</math>
u_3&:&\R^3&\rightarrow&\R\\
~&~&(x,y,z)&\mapsto&xz
\end{array}</math>
u_4&:&\R^3&\rightarrow&\R\\
~&~&(x,y,z)&\mapsto&y-z
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{{BDdébut|titre=Solution u<sub>1</sub>}}
Soit <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2</math> avec
<math>v_1\begin{array}{|l}x_1\\y_1\\z_1\end{array}</math> et <math>v_2\begin{array}{|l}x_2\\y_2\\z_2\end{array}</math>
On a :
:<math>\begin{align}u_1(\lambda v_1+v_2)&=u_1
&=\lambda x_1+x_2-(\lambda y_1+y_2)+3(\lambda z_1+z_2)\\
&=\lambda (x_1-y_1+3z_1)+(x_2-y_2+3z_2)
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{{cadre simple|contenu=Donc ''u<sub>1</sub>'' est une application linéaire.}}
{{BDfin}}
{{BDdébut|titre=Solution u<sub>2</sub>}}
<math>u_2(0,1,0)=0\,</math> et <math>u_2(0,2,0)=-2\,</math>
Or, si u<sub>2</sub> était une application linéaire, on devrait avoir <math>u_2(0,2,0)=2\,u_2(0,1,0)\,</math>
{{cadre simple|contenu=''u<sub>2</sub>'' n'est pas une application linéaire.}}
{{BDfin}}
{{BDdébut|titre=Solution u<sub>3</sub>}}
<math>u_3(1,0,1)=1\,</math> et <math>u_3(2,0,2)=4\,</math>
Or, si u<sub>3</sub> était une application linéaire, on devrait avoir <math>u_3(2,0,2)=2\,u_3(1,0,1)\,</math>
{{cadre simple|contenu=''u<sub>3</sub>'' n'est pas une application linéaire.}}
{{BDfin}}
{{BDdébut|titre=Solution u<sub>4</sub>}}
Soit <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2</math> avec
<math>v_1\begin{array}{|l}x_1\\y_1\\z_1\end{array}</math> et <math>v_2\begin{array}{|l}x_2\\y_2\\z_2\end{array}</math>
On a :
:<math>\begin{align}u_4(\lambda v_1+v_2)&=u_4(\lambda x_1+x_2,\lambda y_1+y_2,\lambda z_1+z_2)\\
&=\lambda y_1+y_2-(\lambda z_1+z_2)\\
&=\lambda (y_1-z_1)+y_2-z_2
\end{align}</math>
De plus :
:<math>\lambda u_4(v_1)+u_4(v_2)=\lambda(y_1-z_1)+(y_2-z_2)\,</math>
Donc pour tout <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2,~u_4(\lambda v_1+v_2)=\lambda u_4(v_1)+u_4(v_2)</math>
{{cadre simple|contenu=''u<sub>4</sub>'' est une application linéaire.}}
{{BDfin}}
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Montrer que ''u'' est un automorphisme de <math>\R^2</math> et trouver son application réciproque.
{{BDdébut|titre=Solution}}
On pose <math>E=\R^2</math>.
Soit <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times E^2</math> avec
<math>v_1\begin{array}{|l}x_1\\y_1\end{array}</math> et <math>v_2\begin{array}{|l}x_2\\y_2\end{array}</math>
On a :
:<math>\begin{align}u(\lambda v_1+v_2)&=u(\lambda x_1+x_2,\lambda y_1+y_2)\\
&=\begin{array}{|l}\lambda x_1+x_2+\lambda y_1+y_2\\\lambda x_1+x_2-(\lambda y_1+y_2)\end{array}\\
&=\begin{array}{|l}\lambda(x_1+y_1)+(x_2+y_2)\\\lambda(x_1-y_1)+(x_2-y_2)\end{array}\\
&=\lambda\begin{array}{|l}x_1+y_1\\x_1-y_1\end{array}+\begin{array}{|l}x_2+y_2\\x_2-y_2\end{array}\\
&=\lambda u(v_1)+u(v_2)
\end{align}</math>
Donc ''u'' est une application linéaire.
Montrons à présent que ''u'' est un automorphime de E, c'est-à-dire que ''u'' est bijective.
Soit <math>v\begin{array}{|l}x\\y\end{array} \in E</math>. Montrons qu'il existe un unique antécédent de ''v'' par ''u''.
Soit <math>(x_0,y_0)\in\R^2</math>.
:<math>\begin{align}
u(x_0,y_0)=v &\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x_0+y_0=x\\x_0-y_0=y\end{array}\right.\\
&\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x_0=\frac12(x-y)\\y_0=\frac12(x+y)\end{array}\right.
\end{align}</math>
Donc tout vecteur <math>v\begin{array}{|l}x\\y\end{array} \in E</math> admet un unique antécédent par l'application ''u'', donc ''u'' est bijective.
{{cadre simple|contenu=Finalement, u est un automorphisme de <math>\R^2</math> et sa réciproque est l'application
:<math>\begin{array}{ccccc}
u^{-1}&:&\R^2&\rightarrow&\R^2\\
~&~&(x,y)&\mapsto&\left(\frac12(x-y),\frac12(x+y)\right)
\end{array}</math>}}
{{BDfin}}
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