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« Limites d'une fonction/Opérations sur les limites » : différence entre les versions

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'''===Question 1 : Domaine de définition de ''f'' :'''===
 
:Soit <math>x\in\R</math>
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'''===Question 2 : Étude des limites de ''f'' aux bords de son domaine de définition :'''===
 
:Nous allons étudier la limite de ''f'' aux infinis, en <math>-\frac{1}{3}</math> et en 2.
 
::'''Étude en +∞ et en -∞'''▼
::Soit <math>x\in\mathcal{D}_f</math>▼
::On met en facteur les termes de plus haut degré : <math>\frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}=\frac{x^2\left(1-\frac3x+\frac2{x^2}\right)}{x^2\left(-3+\frac5x+\frac2{x^2}\right)}=\frac{1-\frac3x+\frac2{x^2}}{-3+\frac5x+\frac2{x^2}}</math>▼
:::<math>\lim_{x \to +\infty}1-\frac3x+\frac2{x^2}=1</math>▼
:::<math>\lim_{x \to +\infty}-3+\frac5x+\frac2{x^2}=-3</math>▼
:::Donc <math>\lim_{x \to +\infty}\frac{1-\frac3x+\frac2{x^2}}{-3+\frac5x+\frac2{x^2}}=-\frac13</math>, c'est-à-dire <math>\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}=-\frac13</math>▼
 
▲::'''====Étude en +∞ et en -∞'''====
:::De même, <math>\lim_{x \to -\infty}1-\frac3x+\frac2{x^2}=1</math> et <math>\lim_{x \to -\infty}-3+\frac5x+\frac2{x^2}=-3</math>▼
:::DoncSoit <math>\lim_{x \to -in\infty}\fracmathcal{x^2-3x+2D}{-3x^2+5x+2}=-\frac13_f</math>
▲::On met en facteur les termes de plus haut degré : <math>\frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}=\frac{x^2\left(1-\frac3x+\frac2{x^2}\right)}{x^2\left(-3+\frac5x+\frac2{x^2}\right)}=\frac{1-\frac3x+\frac2{x^2}}{-3+\frac5x+\frac2{x^2}}</math>
▲:::<math>\lim_{x \to +\infty}1-\frac3x+\frac2{x^2}=1</math>
▲:::<math>\lim_{x \to +\infty}-3+\frac5x+\frac2{x^2}=-3</math>
▲:::Donc <math>\lim_{x \to +\infty}\frac{1-\frac3x+\frac2{x^2}}{-3+\frac5x+\frac2{x^2}}=-\frac13</math>, c'est-à-dire <math>\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}=-\frac13</math>
{{cadre simple|contenu=<math>\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}=-\frac13</math>}}
 
 
▲:::De même, <math>\lim_{x \to -\infty}1-\frac3x+\frac2{x^2}=1</math> et <math>\lim_{x \to -\infty}-3+\frac5x+\frac2{x^2}=-3</math>
----
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x \to -\infty}\frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}=-\frac13</math>}}
{| cellpadding="5" cellspacong="0" border="0" align="center"
|
On pose : <math>N(x)=x^2-3x+2\,</math><br />▼
et <math>D(x)=-3x^2+5x+2\,</math>.▼
 
====Étude en 1/3====
<math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}} N(x)=N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{10}{9}</math><br />▼
 
<math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}} D(x)=D \left( -\frac{1}{3} \right)=0</math><br />▼
On pose les deux fonctions suivantes sur <math>\mathcal D_f</math>:
<math>-\frac{1}{3}</math> étant une valeur interdite, nous allons envisager deux cas de figure : <math>x</math> va tendre vers <math>-\frac{1}{3}</math> soit par <math>{-\infty}</math>, soit par <math>{+\infty}</math> mais sans jamais l'atteindre.<br />
▲On pose : *<math>N(:x)=\mapsto x^2-3x+2\,</math><br />
|
▲et *<math>D(:x)=\mapsto -3x^2+5x+2\,</math>.
{| align="center" cellpadding="5" border="0"
 
|- align="center"
On a ainsi pour tout <math>x\in\mathcal D_f,~f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}</math>
| colspan="2" | Grâce au signe du trinôme, nous pouvons dire que :
 
|- align="center"
| pour *<math>\lim_{x< \to -\frac{1}{3}} N(x)=N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{28}9</math>,<br />
▲*<math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}} ND(x)=ND \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{10}{9}0</math><br />
<math>D(x)<0\,</math> et<br />
 
<math>N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{28}{9}>0</math><br />▼
On a devant nous une limite de la forme <math>\frac{l\not=0}0</math>. Il faut donc connaître le signe de ''f'' pour savoir si la limite vaut +∞ ou -∞, c'est-à-dire connaître les signes de ''N'' et ''D'' aux alentours de <math>\frac13</math>.
ainsi, <math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}^-} f(x) = {-\infty}</math>▼
 
| pour <math>x \in \left]-\frac{1}{3};2 \right[</math>,<br />
*<math>N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{28}{9}</math> donc ''N'' est positive au voisinage de <math>x=-\frac13</math>
<math>D(x)>0\,</math> et<br />
*La fonction D est une fonction polynomiale du second degré. Son tableau de signes est le suivant :
<math>N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{28}{9}>0</math><br />▼
:<math>\begin{array}{c|ccccccc|}
ainsi, <math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}^+} f(x) = {+\infty}</math>▼
x&-\infty&&-\frac13&&2&&+\infty\\
|}▼
\hline
|}
\textrm{Signe~de}~D(x)&&-&0&+&0&-&\\
----
\hline
\end{array}
</math>
 
 
Nous pouvons à présent dire que :
▲::Soit*'''pour <math>x<-\in\mathcalfrac{1}{D3}_f</math>'''
▲::<math>D(x)<0\,</math> et <math>N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{28}{9}>0</math><br />
▲ainsi,{{cadre simple|contenu=Ainsi <math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}^+-} f(x) = {+-\infty}</math>}}
 
▲*pour <math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}} D(x)=Din \left( ]-\frac{1}{3};2 \right)=0[</math><br />
▲::<math>D(x)>0\,</math> et <math>N \left( -\frac{1}{3} \right)= \frac{28}{9}>0</math><br />
▲ainsi{{cadre simple|contenu=Ainsi, <math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}^-+} f(x) = {-+\infty}</math>}}
 
 
====Étude en 2====
{|
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|}
 
 
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|idfaculté=mathématiques
|leçon=[[Langage des limites]]
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