Wikiversité

« Limites d'une fonction/Opérations sur les limites » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique
← Modification précédenteModification suivante →
Contenu supprimé Contenu ajouté
VisuelWikicode
66% done
Achèvement
Ligne 1 :
{{proposition|[[Image:Under contruction icon-yellow.svg|50px|left]]
'''[[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] est en train de modifier ce chapitre en profondeur. Merci de ne pas éditer tant que ce bandeau sera présent.'''{{clr}}}}
 
 
{{Chapitre
|titre=Opérations sur les limites
Ligne 9 ⟶ 5 :
|numero=5
|précédent=[[Langage des limites/Limite infinie en l'infini|Limite infinie en l'infini]]
|suivant=[[Langage des limites/Asymptote oblique|Asymptote oblique]]
|suivant=
|niveau=12
}}
Ligne 82 ⟶ 78 :
 
 
===Question 2 : Étude des limites de ''f'' aux bords de son domaine de définition :===
 
:Nous allons étudier la limite de ''f'' aux infinis, en <math>-\frac{1}{3}</math> et en 2.
Ligne 134 ⟶ 130 :
 
====Étude en 2====
{|
|
<math>\lim_{x \to 2} N(x)=N(2)=0\,</math><br />▼
<math>\lim_{x \to 2} D(x)=D(2)=0\,</math>▼
 
▲*<math>\lim_{x \to 2} N(x)=N(2)=0\,</math><br />
Nous sommes en présence d'une forme indéterminée de type « <math>\frac{0}{0}</math> ».▼
▲*<math>\lim_{x \to 2} D(x)=D(2)=0\,</math>
|
 
Comme <math>N(2)=0</math> et <math>D(2)=0</math>, <math>2</math> est bien une racine de ces deux polynômes. Factorisons donc <math>f</math>.
▲Nous sommes a priori en présence d'une forme indéterminée de type « <math>\frac{0}{0}frac00</math> ».
 
Il y a cependant un moyen simple de remédier à ce problème. Comme <math>N(2)=0\,</math> et <math>D(2)=0\,</math> et que ''N'' et ''D'' sont des fonctions polynomiales, il est possible de les factoriser toutes deux par ''x''-2.
 
Pour trouver la factorisation, il y a plusieurs manières de faire.
*'''Utilisation des relations coefficients-racines''' ([[Image:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|20px]]voir le [[Équations et fonctions de second degré/Somme et produit des racines|cours sur les équations du second degré]])
::On sait qu'une racine de ''N'' est 2 et que le produit des racines vaut <math>\frac ca=2</math>.
::On en déduit que pour tout <math>x\in\mathcal D_f,N(x)=(x-1)(x-2)</math>
*'''Poser α la racine de ''N'' que l'on ne connaît pas et déduire α par identification de <math>x^2-3x+2\,</math> et de <math>(x-2)(x-\alpha)=x^2-(\alpha+2)x+2\alpha\,</math>
*'''Trouver les racines par calcul du discriminant etc''', ici DÉCONSEILLÉ par induit beaucoup de calcul pour retomber un résultat que l'on connaît déjà à moitié. Dans ce cas c'est une perte de temps.
 
La question 1 nous apprend directement que pour tout <math>x\in\mathcal D_f,~D(x)=-3(x-2)\left(x+\frac13\right)</math>
 
Finalement, soit <math>x\in\mathcal D_f</math>
:<math>\begin{align}
f(x)&=\frac{N(x)}{D(x)}\\
&=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)\left(x+\frac13\right)}
&=\frac{x-1}{-3x-1}
\end{align}</math>
 
On a fait disparaître la forme indéterminée. Il ne reste plus qu'à écrire la limite :
Soient <math>x_1</math> et <math>x_2</math> les racines de <math>N(x)</math>.<br />
:<math>N(\lim_{x)=0 \Leftrightarrowto 2} f(x^)=\frac{2-3x+2=01}{-3\times2-1}</math><br />
Nous savons que <math>x_1=2</math>, donc : <math>2x_2= \frac{2}{1}</math> et : <math>x_2=1\,</math>.<br />
Les racines de <math>N(x)</math> sont : <math>1</math> et <math>2</math>.<br />
|}
 
{{cadre simple|contenu=Finalement :<math>\lim_{x \to 2} f(x)=-\frac{1}{7}frac17</math>}}▼
{| border="0" align="center" cellpadding="5"
|-
| colspan="2" | Nous avons vu précédemment que les racines de <math>D(x)</math> sont : <math>-\frac{1}{3}</math> et <math>2</math>, ainsi :
|-
| <math>f(x)= \frac{x^2-3x+2}{-3x^2+5x+2}</math><br />
<math>f(x)= \frac{(x-2)(x-1)}{-3(x-2)(x+\frac{1}{3})}</math><br />
<math>f(x)= \frac{x-1}{-3(x+\frac{1}{3})}</math><br />
| donc
| <math>\lim_{x \to 2} f(x)=f(2)</math><br />
<math>\lim_{x \to 2} f(x)=\frac{(2-1)}{-3(2+\frac{1}{3})}</math><br />
<math>\lim_{x \to 2} f(x)=-\frac{1}{7}</math>
|-
|}
----
En résumé :<br />
{|
|-
| <math>\lim_{x \to \pm \infty} f(x)= \frac{1}{3}</math>
| <math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}^-} f(x) = {-\infty}</math>
|-
| <math>\lim_{x \to -\frac{1}{3}^+} f(x) = {+\infty}</math>
▲| <math>\lim_{x \to 2} f(x)=-\frac{1}{7}</math>
|-
|}
 
 
Récupérée de « https://fr.wikiversity.org/wiki/Limites_d%27une_fonction/Opérations_sur_les_limites »