« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

** Si ''a'' est la forme nulle, alors le noyau de ''a'' est ''E'' ; et toute base de ''E'' convient. Sinon, fixons un vecteur ''X''<sub>1</sub> de ''E'' qui ne soit pas dans le noyau de ''a''. Choississons un vecteur ''Y''<sub>1</sub> tel que ''a''(''X''<sub>1</sub>,''Y''<sub>1</sub>) soit non nul. Quitte à modifier ''Y''<sub>1</sub> en ''Y''<sub>1</sub>/''a''(''X''<sub>1</sub>,''Y''<sub>1</sub>), on est en droit de supposer ''a''(''X''<sub>1</sub>,''Y''<sub>1</sub>)=1. Les vecteurs ''X''<sub>1</sub> et ''Y''<sub>1</sub> sont non colinéaires et engendrent donc un plan vectoriel ''P''.
 
**L'ensemble des vecteurs ''v'' vériantvérifiant <math>a(X<sub>1</sub>X_1,v)=a(Y_1,v)=0</math> est un sous-espace vectoriel Q de ''E''. Tout vecteur ''w'' peut s'écrire :
::<math>w=w_P+w_Q</math> où <math>\scriptstyle w_p=a(X_1,w)Y_1+a(w,Y_1)X_1\in P</math> et <math>w_Q\in Q</math>.
 
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