« Fonction exponentielle/Exercices/Propriétés algébriques de l'exponentielle » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
Solutions
Ligne 1 :
{{Exercice
| titre=Propriétés algébriques de l'exponentielle
| idfaculté=mathématiques
| leçon=[[Fonction exponentielle]]
| niveau=12
| chapitre=[[Fonction
| exponentielle]]|numero=3}}
 
==Exercice 1==
 
Soit <math>x\in\R</math>. Dans chaque cas, simplifier l'expression:
 
a)# <math>(e^x)^5\times e^{-2x}</math>
b)# <math>\frac{e^{2x+3}}{e^{2x-1}}</math>
c)# <math>\frac{e^x+e^{-x}}{e^{-x}}</math>
 
b) <math>\frac{e^{2x+3}}{e^{2x-1}}</math>
 
{{clr}}
c) <math>\frac{e^x+e^{-x}}{e^{-x}}</math>
{{Preuve|titre=Solution|contenu=
b)# <math>(e^x)^5\frac{times e^{-2x+5}}{=e^{3x5x}\times e^{-12x}=e^{5x-2x}=e^{3x}</math>
# <math>\frac{e^{2x+3}}{e^{2x-1}}=e^{2x+3}\times e^{-(2x-1)}=e^{2x+3-(2x-1)}=e^4</math>
# <math>\frac{e^x+e^{-x}}{e^{-x}}=\frac{e^x}{e^{-x}}+\frac{e^{-x}}{e^{-x}}=e^{x-(-x)}+1=1+e^{2x}</math>
}}
 
==Exercice 2==
 
Soit <math>x\in\R</math>. Dans chaque cas, mettre sous la forme d'une seule exponentielle :
 
a)# <math>(e^x)^6\times e^{-3x}</math>
# <math>\frac{e^{2x+5}}{e^{3x}\times e^{-1}}</math>
 
 
b) <math>\frac{e^{2x+5}}{e^{3x}\times e^{-1}}</math>
{{Preuve|titre=Solution|contenu=
# <math>(e^x)^6\times e^{-3x}=e^{6x}\times e^{-3x}=e^{6x-3x}=e^{3x}</math>
# <math>\frac{e^{2x+5}}{e^{3x}\times e^{-1}}=\frac{e^{2x+5}}{e^{3x-1}}=e^{2x+5}\times e^{-(3x-1)}=e^{2x+5-(3x-1)}=e^{-x+6}</math>
}}
 
==Exercice 3==
Ligne 24 ⟶ 40 :
Démontrer que pour tout réel x :
 
a)# <math>\frac{e^x-1}{e^x+1}=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}</math>
# <math>e^{-x}-e^{-2x}=\frac{e^x-1}{e^{2x}}</math>
 
{{Preuve|titre=Solution|contenu=
Soit <math>x\in\R</math>
 
b)# <math>\frac{e^{x-1}{e^x+1}=\frac{e^x(1-e^{-2xx})}{e^x(1+e^{-x})}=\frac{1-e^x{-1x}}{1+e^{2x-x}}</math>
# <math>e^{-x}-e^{-2x}=\frac{e^{2x}(e^{-x}-e^{-2x})}{e^{2x}}=\frac{e^{2x-x}-e^{2x-2x}}{e^{2x}}=\frac{e^x-1}{e^{2x}}</math>}}
 
[[Catégorie:Fonction exponentielle]]