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Solution exercice 1
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(Solution exercice 1)
==Exercice 1==
 
''f''ƒ est la fonction définie sur <math>[0;+\infty[</math> par :
 
:pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~f(x) = -x+\frac{5}{2}-e^{-x}</math>.
 
a) Étudier les variations de ''f''ƒ.
 
b) Étudier la limite de ''f''ƒ en <math>+\infty</math>.
 
c) Démontrer que la courbe représentative ''<math>\mathcal C''</math> de fƒ admet une asymptote oblique ''<math>\mathcal D''</math> dont on donnera une équation.
 
d) Étudier les positions relatives de ''<math>\mathcal C''</math> et ''<math>\mathcal D''</math>.
dont on donnera une équation.
 
e) Déterminer une équation de la tangente à ''<math>\mathcal C''</math> au point d'abscisse 2.
d) Étudier les positions relatives de ''C'' et ''D''.
 
 
e) Déterminer une équation de la tangente à ''C'' au point d'abscisse 2.
{{Preuve|titre=Solution|contenu=
'''a) Étudier les variations de ƒ.'''
:ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> :
:<math>f'(x)=-1-(-1)\times e^{-x}=e^{-x}-1</math>
 
Or, pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~e^{-x}\leq 1</math> donc <math>f'(x)\leq 0</math>
 
{{cadre simple|contenu=On en déduit que ƒ est décroissante.}}
 
'''b) Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.'''
*<math>\lim_{x\to +\infty}-x+\frac52=-\infty</math>
*<math>\lim_{x\to +\infty}e^{-x}=0</math>
 
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty</math>}}
 
'''c) Démontrer que la courbe représentative <math>\mathcal C</math> de ƒ admet une asymptote oblique <math>\mathcal D</math>'''
 
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :
*une partie affine : <math>x\mapsto -x+\frac52</math>
*une partie qui tend vers 0 : <math>x\mapsto e^{-x}</math>
 
Si on pose <math>g:x\mapsto -x+\frac52</math>, définie sur <math>\R</math> et de représentation graphique <math>\mathcal D</math>, on a :
:<math>\lim_{x\to+\infty} f(x)-g(x)=0</math>
 
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=-x+\frac52</math>}}
 
'''d) Étudier les positions relatives de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>.'''
:Pour tout <math>x\in[0;+\infty[,f(x)-g(x)=-e^{-x}</math>, grandeur négative.
 
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> est en-dessous de son asymptote <math>\mathcal D</math>}}
 
'''e) Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.'''
:D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est :
:<math>\begin{align}
y&=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)\\
&=-2+\frac52-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot(x-2)\\
&=\frac12-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot(x-2)\\
&=\frac12-e^{-2}-x+2+e^{-2}x-2e^{-2}\\
&=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+\frac52\\
\end{align}</math>
 
{{cadre simple|contenu=Donc la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 a pour équation <math>y=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+\frac52</math>}}
}}
 
==Exercice 2==
 
''f''ƒ est la fonction définie sur <math>[0;+\infty[</math> par :
 
:<math>f(x) = 2x-\frac{5}{2}+2e^{-x}</math>.
 
a) Étudier les variations de ''f''ƒ.
 
b) Étudier la limite de ''f''ƒ en <math>+\infty</math>.
 
c) Démontrer que la courbe représentative ''C'' de fƒ admet une asymptote oblique ''D''
 
dont on donnera une équation.
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