« Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle » : différence entre les versions

Solution exo 2
(Solution exercice 1)
(Solution exo 2)
ƒ est la fonction définie sur <math>[0;+\infty[</math> par :
 
:pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~f(x) = 2x-\frac{5}{2}+2e^{-x}</math>.
 
a) Étudier les variations de ƒ.
b) Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.
 
c) Démontrer que la courbe représentative ''<math>\mathcal C''</math> de ƒ admet une asymptote oblique ''<math>\mathcal D''</math> dont on donnera une équation.
 
d) Étudier les positions relatives de ''<math>\mathcal C''</math> et ''<math>\mathcal D''</math>.
dont on donnera une équation.
 
e) Déterminer une équation de la tangente à ''<math>\mathcal C''</math> au point d'abscisse 2.
d) Étudier les positions relatives de ''C'' et ''D''.
 
 
e) Déterminer une équation de la tangente à ''C'' au point d'abscisse 2.
{{Preuve|titre=Solution|contenu=
'''a) Étudier les variations de ƒ.'''
:ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> :
:<math>f'(x)=2+2\times(-1)e^{-x}=2(1-e^{-x})</math>
 
Or, pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~e^{-x}\leq 1</math> donc <math>f'(x)\geq 0</math>
 
{{cadre simple|contenu=On en déduit que ƒ est croissante.}}
 
'''b) Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.'''
*<math>\lim_{x\to +\infty}2x-\frac52=+\infty</math>
*<math>\lim_{x\to +\infty}2e^{-x}=0</math>
 
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty</math>}}
 
'''c) Démontrer que la courbe représentative <math>\mathcal C</math> de ƒ admet une asymptote oblique <math>\mathcal D</math>'''
 
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :
*une partie affine : <math>x\mapsto 2x-\frac52</math>
*une partie qui tend vers 0 : <math>x\mapsto 2e^{-x}</math>
 
Si on pose <math>g:x\mapsto 2x-\frac52</math>, définie sur <math>\R</math> et de représentation graphique <math>\mathcal D</math>, on a :
:<math>\lim_{x\to+\infty} f(x)-g(x)=0</math>
 
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=2x-\frac52</math>}}
 
'''d) Étudier les positions relatives de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>.'''
:Pour tout <math>x\in[0;+\infty[,f(x)-g(x)=2e^{-x}</math>, grandeur positive.
 
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> est au-dessus de son asymptote <math>\mathcal D</math>}}
 
'''e) Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.'''
:D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est :
:<math>\begin{align}
y&=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)\\
&=2\times2-\frac52+2e^{-2}+2(1-e^{-2})(x-2)\\
&=\frac32+2e^{-2}+2((1-e^{-2})x-2(1-e^{-2}))\\
&=-\frac52+6e^{-2}+2(1-e^{-2})x\\
\end{align}</math>
 
{{cadre simple|contenu=Donc la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 a pour équation <math>y=2(1-e^{-2})x-\frac52+6e^{-2}</math>}}
}}
 
==Exercice 3==
7 159

modifications