« Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle » : différence entre les versions
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Solution exo 3 |
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Ligne 125 :
==Exercice 3==
Calculer la fonction dérivée des fonctions
a) <math>
b) <math>
c) <math>
{{Preuve|titre=Solution|contenu=
Ces trois fonctions sont définies et dérivables sur <math>\R</math>.
'''a)''' <math>f_1:x\mapsto(3x-2)e^x</math>
*Cette fonction se dérive comme un produit.
**On pose pour tout <math>x\in\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto(3x-2)</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math>
**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math>
**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^x</math>
'''b) <math>f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^{-x}}</math>'''
*Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
**On remarque que pour tout <math>x\in\R,~f_2(x)=\frac{x^2}{e^{-x}}=x^2 e^x</math>
**On pose pour tout <math>x\in\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto x^2</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math>
**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 2x</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math>
**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x</math>
'''c) <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-3x}</math>'''
:Là encore, il y a de multiples façons de calculer la dérivée de ƒ<sub>3</sub>. Nous en présenterons deux.
*'''Méthode 1''' : Elle utilise les propriétés algébriques de l'exponentielle
**On pose pour tout <math>x\in\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{-3x}</math>
**On remarque que pour tout <math>x\in\R,~v(x)=e^{-3x}=(e^x)^{-3}</math>
**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto -3\exp'(x)\times (e^x)^{-4}=-3e^xe^{-4x}=-3e^{-3x}</math>
**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=((-3)\cdot3x-3)e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}</math>
*'''Méthode 2''' : Elle repose sur [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction|ce théorème de niveau 11]]
**On pose pour tout <math>x\in\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{-3x}</math>
**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto -3e^{-3x}</math>
**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=((-3)\cdot3x-3)e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}</math>
}}
==Exercice 4==
Calculer la fonction dérivée des fonctions
a) <math>f(x)=(5x-2)e^{-x}\,</math>
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