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« Fonctions circulaires/Exercices/Problème d'optimisation » : différence entre les versions

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== Problème 1 (simple) ==
 
(AB) est un rayon d'un cercle de rayon 1 et de centre A.
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[[Image:Optimisation aire triangle.png|600px|center]]
 
{{Solution}}
==Problème 2==▼
 
▲== Problème 2 ==
 
(AB) est un rayon d'un cercle de rayon 1 et de centre A.
 
C 'est un point de ce cercle et D un point tel que BD = 5 et <math>(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD})=\gamma=\frac{\pi}{6}</math>.
 
On note <math>\alpha\,</math> l'angle <math>(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})</math> et <math>\beta\,</math> l'angle <math>(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC})</math>
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[[Image:Optimisation aire triangle2.png|600px|center]]
 
 
nb : On peut faire ce problème sans fixer <math>\gamma</math> (comme sur la figure), mais c'est plus difficile.
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On prend donc <math>\gamma=\frac{\pi}{6}</math> pour fixer les idées.
 
'''1°.''' Donner la relation entre <math>\alpha\,</math> et <math>\beta\,</math>.
 
'''2°.''' Exprimer BC en fonction de <math>\alpha\,</math>
 
'''3°.''' Exprimer la hauteur h du triangle ABC issue de C en fonction de <math>\beta\,</math> et <math>\alpha\,</math>.
 
'''4°.''' Exprimer la hauteur h du triangle ABC issue de C en fonction de <math>\beta\,</math> seul.
 
'''5°.''' Dériver la fonction h par rapport à <math>\beta\,</math>.
 
'''6°.''' Simplifier cette dérivée.
 
'''7°.''' Dans quel intervalle <math>\beta\,</math> varie-t-il ?
 
'''8°.''' Dresser le tableau de variations de h et conclure.
 
 
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = ▼
 
▲{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =
Dans le triangle ABC on a :
 
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}}
 
== Balistique ==
 
On se place dans un repère orthonormé <math>(O,\overrightarrow{i} ,\overrightarrow{j} </math>).
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:<math>y=\tan(\alpha)x-\frac{x^2}{5\cos(\alpha)^2}</math>
 
'''1°.''' Calculer l'abscisse <math>c\,</math> du point de chute du projectile en fonction de <math>\alpha</math>.
 
2° Calculer la dérivée <math>c'(\alpha)\,</math>
 
3°'''2.''' SimplifierCalculer cettela dérivée avec la formule :<math>\cosc'(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2=\cos(2\alpha)\,</math>.
 
'''3.''' Simplifier cette dérivée avec la formule :<math>\cos(\alpha)^2-\sin(\alpha)^2=\cos(2\alpha)\,</math>.
 
3°'''4.''' En déduire le tableau de variations de <math>c(\alpha)\,</math>.
 
4°'''5.''' Conclure.
 
{{Solution}}
 
== Les anneaux ==
 
On considère un gymnaste aux anneaux.
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sur les mains du gymnaste en fonction de l'angle <math>\alpha\,</math>.
 
'''1°.''' Exprimer T en fonction de m, g et <math>\beta</math>
 
'''2°.''' En exprimant la hauteur du triangle AED issue de E, exprimer <math>\beta\,</math> en fonction de <math>\alpha\,</math>, r et L.
 
'''3°.''' En utilisant la formule : <math>\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}</math>, exprimer T en fonction de <math>\alpha\,</math>
 
'''4°.''' Tracer la fonction <math>T(\alpha)\,</math> et dresser son tableau de variation.
 
{{Solution}}
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu = Votre solution est bienvenue ! }}
 
[[Catégorie:Fonctions circulaires]]
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