« Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle » : différence entre les versions

|leçon=[[Fonction exponentielle]]|niveau=12|chapitre=[[Fonction exponentielle]]|numero=4}}

 

 

ƒ est la fonction définie sur <math>[0;+\infty[</math> par :

:pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~f(x) = -x+\frac{5}{2}-e^{-x}</math>.

 

 

 

 

 

 

 

:ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> :

:<math>f'(x)=-1-(-1)\times e^{-x}=e^{-x}-1</math>

{{cadre simple|contenu=On en déduit que ƒ est décroissante.}}

 

*<math>\lim_{x\to +\infty}-x+\frac52=-\infty</math>

*<math>\lim_{x\to +\infty}e^{-x}=0</math>

{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty</math>}}

 

 

On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :

{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=-x+\frac52</math>}}

 

:Pour tout <math>x\in[0;+\infty[,f(x)-g(x)=-e^{-x}</math>, grandeur négative.

 

{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> est en-dessous de son asymptote <math>\mathcal D</math>}}

 

:D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est :

:<math>\begin{align}

}}

 

 

ƒ est la fonction définie sur <math>[0;+\infty[</math> par :

:pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~f(x) = 2x-\frac{5}{2}+2e^{-x}</math>.

 

 

 

 

 

 

 

{{Preuve|titre=Solution|contenu=

:ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> :

:<math>f'(x)=2+2\times(-1)e^{-x}=2(1-e^{-x})</math>

{{cadre simple|contenu=On en déduit que ƒ est croissante.}}

 

*<math>\lim_{x\to +\infty}2x-\frac52=+\infty</math>

*<math>\lim_{x\to +\infty}2e^{-x}=0</math>

{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty</math>}}

 

 

On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :

{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=2x-\frac52</math>}}

 

:Pour tout <math>x\in[0;+\infty[,f(x)-g(x)=2e^{-x}</math>, grandeur positive.

 

{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> est au-dessus de son asymptote <math>\mathcal D</math>}}

 

:D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est :

:<math>\begin{align}

}}

 

 

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.

 

 

 

 

 

{{Preuve|titre=Solution|contenu=

Ces trois fonctions sont définies et dérivables sur <math>\R</math>.

*Cette fonction se dérive comme un produit.

**On pose pour tout <math>x\in\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto(3x-2)</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math>

**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^x</math>

 

*Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.

**On remarque que pour tout <math>x\in\R,~f_2(x)=\frac{x^2}{e^{-x}}=x^2 e^x</math>

**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x</math>

 

:Là encore, il y a de multiples façons de calculer la dérivée de ƒ₃. Nous en présenterons deux.

 

 

}}

 

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.

 

 

 

 

Dans les exemples suivants, le calcul repose sur [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction|ce théorème de niveau 11]].

 

 

 

 

 

 

Pour tout réel <math>\lambda >0</math>, on note <math>f_{\lambda}</math> la fonction définie sur <math>\R</math> par :

</math>

 

 

 

<math>f_{\lambda}(-x)=f_{\lambda}(x)\,</math>.

 

 

[[Catégorie:Fonction exponentielle]]