« Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle » : différence entre les versions

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|leçon=[[Fonction exponentielle]]|niveau=12|chapitre=[[Fonction exponentielle]]|numero=4}}
 
== Exercice 1 ==
 
ƒ est la fonction définie sur <math>[0;+\infty[</math> par :
:pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~f(x) = -x+\frac{5}{2}-e^{-x}</math>.
 
a)'''1.''' Étudier les variations de ƒ.
 
b)'''2.''' Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.
 
c)'''3.''' Démontrer que la courbe représentative <math>\mathcal C</math> de ƒ admet une asymptote oblique <math>\mathcal D</math> dont on donnera une équation.
 
d)'''4.''' Étudier les positions relatives de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>.
 
e)'''5.''' Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.
 
 
{{Preuve|titre=Solution|contenu=
'''a)1. Étudier les variations de ƒ.'''
:ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> :
:<math>f'(x)=-1-(-1)\times e^{-x}=e^{-x}-1</math>
{{cadre simple|contenu=On en déduit que ƒ est décroissante.}}
 
'''b)2. Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.'''
*<math>\lim_{x\to +\infty}-x+\frac52=-\infty</math>
*<math>\lim_{x\to +\infty}e^{-x}=0</math>
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty</math>}}
 
'''c)3. Démontrer que la courbe représentative <math>\mathcal C</math> de ƒ admet une asymptote oblique <math>\mathcal D</math>'''
 
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=-x+\frac52</math>}}
 
'''d)4. Étudier les positions relatives de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>.'''
:Pour tout <math>x\in[0;+\infty[,f(x)-g(x)=-e^{-x}</math>, grandeur négative.
 
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> est en-dessous de son asymptote <math>\mathcal D</math>}}
 
'''e)5. Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.'''
:D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est :
:<math>\begin{align}
}}
 
== Exercice 2 ==
 
ƒ est la fonction définie sur <math>[0;+\infty[</math> par :
:pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~f(x) = 2x-\frac{5}{2}+2e^{-x}</math>.
 
a)'''1.''' Étudier les variations de ƒ.
 
b)'''2.''' Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.
 
c)'''3.''' Démontrer que la courbe représentative <math>\mathcal C</math> de ƒ admet une asymptote oblique <math>\mathcal D</math> dont on donnera une équation.
 
d)'''4.''' Étudier les positions relatives de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>.
 
e)'''5.''' Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.
 
 
{{Preuve|titre=Solution|contenu=
'''a)1. Étudier les variations de ƒ.'''
:ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> :
:<math>f'(x)=2+2\times(-1)e^{-x}=2(1-e^{-x})</math>
{{cadre simple|contenu=On en déduit que ƒ est croissante.}}
 
'''b)2. Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.'''
*<math>\lim_{x\to +\infty}2x-\frac52=+\infty</math>
*<math>\lim_{x\to +\infty}2e^{-x}=0</math>
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty</math>}}
 
'''c)3. Démontrer que la courbe représentative <math>\mathcal C</math> de ƒ admet une asymptote oblique <math>\mathcal D</math>'''
 
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=2x-\frac52</math>}}
 
'''d)4. Étudier les positions relatives de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>.'''
:Pour tout <math>x\in[0;+\infty[,f(x)-g(x)=2e^{-x}</math>, grandeur positive.
 
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> est au-dessus de son asymptote <math>\mathcal D</math>}}
 
'''e)5. Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.'''
:D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est :
:<math>\begin{align}
}}
 
== Exercice 3 ==
 
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
 
a)'''1.''' <math>f_1:x\mapsto(3x-2)e^x</math>
 
b)'''2.''' <math>f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^{-x}}</math>
 
c)'''3.''' <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-3x}</math>
 
 
{{Preuve|titre=Solution|contenu=
Ces trois fonctions sont définies et dérivables sur <math>\R</math>.
 
'''a)1.''' <math>f_1:x\mapsto(3x-2)e^x</math>
*Cette fonction se dérive comme un produit.
**On pose pour tout <math>x\in\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto(3x-2)</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math>
**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^x</math>
 
'''b)2. <math>f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^{-x}}</math>'''
*Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
**On remarque que pour tout <math>x\in\R,~f_2(x)=\frac{x^2}{e^{-x}}=x^2 e^x</math>
**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x</math>
 
'''c)3. <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-3x}</math>'''
:Là encore, il y a de multiples façons de calculer la dérivée de ƒ<sub>3</sub>. Nous en présenterons deux.
 
 
}}
== Exercice 4 ==
 
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
 
a)'''1.''' <math>f(x)=(5x-2)e^{-x}\,</math>
 
b)'''2.''' <math>f(x) = \frac{x^2}{e^x}\,</math>
 
c)'''3.''' <math>f(x) = 3xe^{-4x}\,</math>
 
Dans les exemples suivants, le calcul repose sur [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction|ce théorème de niveau 11]].
 
d)'''4.''' <math>f(x) = e^{2x+3}\,</math>
 
e)'''5.''' <math>f(x) = 3e^{-4x}\,</math>
 
f)'''6.''' <math>f(x) = xe^{2x-1}\,</math>
 
g)'''7.''' <math>f(x)= 3x e^{\frac{x}{2}}\,</math>
 
{{Solution}}
==Exercice 5==
 
== Exercice 5 ==
 
Pour tout réel <math>\lambda >0</math>, on note <math>f_{\lambda}</math> la fonction définie sur <math>\R</math> par :
</math>
 
'''1°.''' Tracer sur calculatrice la courbe représentative de <math>f_{\lambda}</math> pour <math>\lambda =0,5</math> et pour <math>\lambda=3</math>.
 
'''2°.''' Démontrer que <math>f_{\lambda}</math> est paire, c'est-à-dire pour tout ''x'' :
 
<math>f_{\lambda}(-x)=f_{\lambda}(x)\,</math>.
 
'''3°.''' Étudier les variations de <math>f_{\lambda}</math> et déterminer sa limite en <math>+\infty</math>.
 
{{Solution}}
 
[[Catégorie:Fonction exponentielle]]
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