« Fonction logarithme/Exercices/Une fonction logarithme comme solution d'une équation différentielle » : différence entre les versions
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</math>
#Étudier les variations de <math>g\,</math>.▼
#Étudier la limite de <math>g\,</math> en <math>-1\,</math>.▼
#Tracer la courbe représentative de <math>g\,</math>.▼
#Démontrer que <math>g\,</math> est solution de l'équation différentielle <math>(E)~:~(1+x)~y '+2y=\ln(1+x)</math>▼
On pose deux fonctions ''u'' et ''v'' dérivables telles que▼
*Pour tout <math>x \in ]-1;+\infty[,~v(x)=\ln(x)</math>▼
▲
{{Solution|contenu=
▲'''1.''' On pose deux fonctions ''u'' et ''v'' dérivables telles que
* Pour tout <math>x \in ]-1;+\infty[,~u(x)=1+x</math>
▲* Pour tout <math>x \in ]-1;+\infty[,~v(x)=\ln(x)</math>
On écrit que pour tout <math>x \in ]-1;+\infty[</math>:
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La dérivée de <math>x \mapsto (v \circ u)(x)</math> est <math>x \mapsto u'(x)~v'(u(x))</math>
* Pour tout <math>x \in ]-1;+\infty[,~u'(x)=1</math>
* Pour tout <math>x \in ]-1;+\infty[,~v'(x)=\frac1x</math>
* Pour tout <math>x \in ]-1;+\infty[,~g'(x)=\frac12~\left ( 1 \times \frac1{1+x} \right )</math>
{{cadre simple|contenu=Finalement, pour tout <math>x \in ]-1;+\infty[, g'(x)=\frac 1{2+2x}</math>
'''2.''' Pour tout <math>x\in ]-1;+\infty[,~2+2x>0</math>, donc sur l'intervalle de définition, la fonction <math>g'\,</math> est strictement positive. Par conséquent : {{cadre simple|contenu=''g'' est une fonction strictement croissante.
▲Pour tout <math>x\in ]-1;+\infty[,~2+2x>0</math>, donc sur l'intervalle de définition, la fonction <math>g'\,</math> est strictement positive. Par conséquent : {{cadre simple|contenu=''g'' est une fonction strictement croissante.}}}}
▲<math>\lim_{t\rightarrow -1^+} t+1 = 0^+</math> et <math>\lim_{t\rightarrow0^+}\ln(t)=-\infty</math>
donc <math>\lim_{x\rightarrow-1^+}\ln(x+1)=-\infty</math>
Ligne 46 ⟶ 49 :
Donc <math>\lim_{x\rightarrow-1^+}\frac12\ln(x+1)=-\infty</math>
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x \rightarrow -1^+}g(x)=-\infty</math>
'''4.''' <math>\lim_{t\rightarrow+\infty}t+1=+\infty</math> et <math>\lim_{t\rightarrow+\infty}\ln(t)=+\infty</math>▼
▲<math>\lim_{t\rightarrow+\infty}t+1=+\infty</math> et <math>\lim_{t\rightarrow+\infty}\ln(t)=+\infty</math>
donc <math>\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln(x+1)=+\infty</math>
Ligne 55 ⟶ 57 :
Donc <math>\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac12\ln(x+1)=+\infty</math>
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=+\infty</math>
<math>\begin{align}
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