« Fonction logarithme/Exercices/Primitive d'une fraction rationnelle » : différence entre les versions
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[[Catégorie:Fonction logarithme]]▼
Le but de cet exercice est de calculer une primitive de :
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Mais ''f'' n’est pas de la forme ''u’/u''.
<center><math>f(x)=\frac a{-x+8}+\frac b{x+2}</math></center>▼
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=▼
'''1.'''
;Méthode générale :
On cherche les deux racines du polynôme, à partir du discriminant :
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On sait que la somme des racines égale ''-b/a = 6'' et on trouve la seconde racine ''y''. On résout ainsi directement le problème :
:<math>-x^2+6x+16=-\left(x+2\right) \times \left(x-8\right)</math>
'''2.''' On a :
▲b. Déterminer a et b pour que :
▲<center><math>f(x)=\frac a{-x+8}+\frac b{x+2}</math></center>
:<math>f(x) = \frac{1}{{ - x^2 + 6x + 16}}</math>
Ligne 71 :
:<math>2a+8a=10a=1\,</math>
On trouve : <math>a=b=\frac1{10}</math>.
'''3.''' Nous allons mettre à profit la décomposition trouvée précédemment :▼
▲c. Déterminer une primitive de f sur <math>[-1 ; 1]</math>
▲Nous allons mettre à profit la décomposition trouvée précédemment :
:<math>f(x)=\frac{1/10}{-x+8}+\frac{1/10}{x+2}</math>
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où ''K'' est une constante.}}
▲[[Catégorie:Fonction logarithme]]
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