« Fonction logarithme/Exercices/Étude d'une fonction comprenant un logarithme » : différence entre les versions
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Ligne 5 :
Dans tout le problème, I désigne l'intervalle <math>]0,+\infty [</math>.
== Partie A ==
Soit g la fonction définie par pour tout <math>x \in I,~g(x)=x^2+6-4\ln(x)</math>.
Ligne 20 :
</math>
#En déduire que g est une fonction positive sur l'intervalle I.▼
{{
'''1.'''
g(\sqrt 2)&=(\sqrt 2)^2+6-4~\ln(\sqrt 2)\\
&=2+6-4~\frac12\ln(2)\\
Ligne 30 ⟶ 32 :
\end{align}</math>
{{cadre simple|contenu=Donc <math>g(\sqrt 2)=8-2\ln(2)</math>
'''2.'''
* ''g'' est
*
*
* De plus , <math>8-2~\ln(2) \approx 6,61</math> donc <math>g(\sqrt 2) >0</math>
{{cadre simple|contenu=Donc pour tout <math>x \in I,~g(x)>0</math>}}}}
== Partie B ==
Soit f la fonction définie par pour tout <math>x\in I,~f(x)=\frac x4 -\frac 1{2x}+ \frac{\ln(x)}x</math>
:'''b.''' Étudier la limite de f en 0 et en déduire l'existence d'une asymptote à la courbe C.
##Faire le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle I.▼
##Montrer que la droite <math>\mathcal D</math> est asymptote à la courbe <math>\mathcal C</math>.▼
##Sur l'intervalle I, déterminer la position de la courbe <math>\mathcal C</math> par rapport à la droite <math>\mathcal D</math>.▼
#En utilisant les résultats précédents, tracer avec soin la droite <math>\mathcal D</math> et la courbe <math>\mathcal C</math>.▼
#On considère la fonction h définie sur l'intervalle I par pour tout <math>x\in I,~h(x)=-\frac1{2x}+\frac{\ln(x)}{x}</math>▼
##Calculer en <math>cm^2</math> l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe <math>\mathcal C</math>, la droite <math>\mathcal D</math> et les droites d'équations <math>x=\sqrt{e}</math> et <math>x=e\,</math>.▼
▲
:'''b.''' Montrer que le point d'intersection de <math>\mathcal C</math> et de <math>\mathcal D</math> a pour coordonnées <math>\left(\sqrt{e},\frac{\sqrt{e}}4\right)</math>.
▲
▲
▲
:'''a.''' En remarquant que <math>\frac{\ln(x)}x</math> est de la forme <math>u'(x)~u(x)</math>, déterminer une primitive de la fonction h, que l'on notera H.
▲
{{Solution|contenu='''1.''' '''a.''' *<math>\lim_{x \rightarrow +\infty}
* <math>\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac x4 =+\infty</math>▼
* <math>\lim_{x \rightarrow +\infty} -\frac 1{2x} =0</math>
{{
▲*<math>\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac x4 =+\infty</math>
▲*<math>\lim_{x \rightarrow +\infty} -\frac 1{2x} =0</math>
'''b.''' *<math>\begin{cases}
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} \ln(x) =-\infty}\\
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac1x} =+\infty
\end{cases}</math> donc <math>\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln(x)}x =-\infty</math>
* <math>\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac x4 =0</math>
* <math>\lim_{x \rightarrow 0^+} -\frac 1{2x} =-\infty</math>
{{cadre simple|contenu=On obtient finalement <math>\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=-\infty</math>}}
Cela implique pour la courbe représentative de f la propriété suivante :
{{cadre simple|contenu=<math>\mathcal C</math> admet pour asymptote au voisinage de 0 la droite d'équation x=0
* pour tout <math>x\in I,~u(x)=\ln(x)</math>
* pour tout <math>x\in I,~v(x)=x</math>
u et v sont dérivables sur I et leurs dérivées valent
* pour tout <math>x\in I,~u'(x)=\frac1x</math>
* pour tout <math>x\in I,~v'(x)=1</math>
La dérivée de f vaut alors pour tout <math>x\in I</math>
Ligne 91 ⟶ 107 :
\end{align}</math>
{{cadre simple|contenu=Donc pour tout <math>x\in I,~f'(x)=\frac{g(x)}{4x^2}</math>
* pour tout <math>x
▲*pour tout <math>x\in I,~4x^2>0</math>
{{cadre simple|contenu=Donc pour tout <math>x\in I, f'(x)>0</math>, donc f est strictement croissante sur I
'''e.''' <math>\begin{array}{c|ccc|}
▲<math>\begin{array}{c|ccc|}
x&0&&+\infty\\
\hline
Ligne 109 ⟶ 123 :
&-\infty&&\\
\end{array}
</math>
'''2.''' '''a.''' * Pour tout <math>x\in I,~f(x)-\frac x4=-\frac 1{2x}+ \frac{\ln(x)}x</math>▼
▲*Pour tout <math>x\in I,~f(x)-\frac x4=-\frac 1{2x}+ \frac{\ln(x)}x</math>
<math>\begin{cases}\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln(x)}x =0}\\
\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} -\frac 1{2x} =0} \end{cases}</math>
donc <math>\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)-\frac x4=0</math>
{{cadre simple|contenu=Donc la droite <math>\mathcal D</math> est asymptote à <math>\mathcal C</math> au voisinage de <math>+\infty</math>
'''b.''' * On résout l'équation <math>(E)~:~f(x)=\frac x4</math> d'inconnue <math>x\in I</math> pour trouver l'abscisse du point d'intersection▼
▲*On résout l'équation <math>(E)~:~f(x)=\frac x4</math> d'inconnue <math>x\in I</math> pour trouver l'abscisse du point d'intersection
<math>\begin{align}
Ligne 129 ⟶ 141 :
\end{align}</math>
* L'ordonnée du point d'intersection est alors <math>\frac{\sqrt e}4</math>, car il est sur <math>\mathcal D:y=\frac x4</math>
{{cadre simple|contenu=Donc le point d'intersection de <math>\mathcal C</math> et de <math>\mathcal D</math> a pour coordonnées <math>\left (\sqrt{e},\frac{\sqrt{e}}4 \right )</math>.
Soit <math>x \in I</math>:
Ligne 139 ⟶ 151 :
<math>f(x)-\frac x4=-\frac 1{2x}+\frac{\ln(x)}x=\frac{2\ln(x)-1}{2x}</math>
* Pour tout <math>x\in I,~2x>0</math>
* <math>\mathcal C</math> est au-dessus de <math>\mathcal D \Leftrightarrow 2\ln(x)-1 \geq 0 \Leftrightarrow \ln(x) \geq \frac12 \Leftrightarrow x \geq \sqrt e</math> (par croissance de la fonction ''ln'')
{{cadre simple|contenu=Finalement :
*sur l'intervalle <math>]0,\sqrt e]</math>, <math>\mathcal C</math> est en-dessous de <math>\mathcal D</math>
*sur l'intervalle <math>[\sqrt e,+\infty[</math>,<math>\mathcal C</math> est au-dessus de <math>\mathcal D</math>
'''4.''' '''a.''' Séparons la fonction à intégrer en deux parties : ▼
▲Séparons la fonction à intégrer en deux parties :
:<math>h(x)=h_1(x)+h_2(x)\,</math>
Avec :
Ligne 179 ⟶ 190 :
où ''K'' est une constante. Puisqu'on ne demande ''qu'une'' primitive, on peut par exemple choisir ''K = 0''.
{{cadre simple|contenu=Finalement, une primitive de h est <math>H:x \mapsto \frac12\ln(x)^2-\frac12 \ln(x)=\frac{\ln(x)}2(\ln(x)-1)</math>
'''b.''' [[Image:WV-ExoMaths00003.gif]]▼
▲[[Image:WV-ExoMaths00003.gif]]
L'aire que l'on cherche à calculer est l'aire rouge. On peut facilement calculer :
* (aire rouge+aire bleue), qui correspond à l'intégrale de la fonction f entre <math>\sqrt e</math> et <math>e\,</math>
* aire bleue, qui correspond à l'intégrale de la fonction dont la courbe est <math>\mathcal D</math> entre <math>\sqrt e</math> et <math>e\,</math>
L'aire rouge vaut ainsi, en unités de surface :
Ligne 202 ⟶ 212 :
Comme l'unité de surface vaut en réalité <math>16~\textrm{cm}^2</math> : {{cadre simple|contenu=L'aire demandée vaut <math>2~\textrm{cm}^2</math>}}}}
[[Catégorie:Fonction logarithme]]
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