« Série numérique/Exercices/Fraction rationnelle » : différence entre les versions

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|niveau=
}}
 
== Question 1 ==
 
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle définie sur <math>\mathbb{R}\setminus \{-1, -2, -3\}</math> par
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<math>F(x) = \frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)}</math>
 
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =
<math>F(x) = \frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2} + \frac{c}{x+3}</math>
 
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<math>F(x) = \frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+1} + \frac{-2}{x+2} + \frac{1}{x+3}</math>}}
}}
 
== Question 2 ==
 
==Question 2==
 
En déduire que la série <math>\sum_{k \ge 0} \frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)}</math> converge et déterminer sa limite.
 
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =
Soit <math>S_n = \sum_{k=0}^n \frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)}</math>. D'après la question 1, on a :
 
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Donc quand n tend vers l'infini, la limite de <math>S_n</math> existe, donc la série converge.
 
<math>\lim_{n \to \infty}S_n = \frac{1}{2} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)}</math>}}
}}
 
== Question 3 ==
 
==Question 3==
 
Retrouver le résultat précédent en utilisant le résultat : <math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = ln(n) + \gamma + \epsilon_n</math> avec <math>\lim_{n \to \infty}\epsilon_n = 0</math>, vu dans l'[[Série_numérique/Exercices/Série_harmonique|exercice 4]].
 
{{boîte déroulante|titre = Solution|contenu =
<math>\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} = H_{n+1}</math>
 
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Et <math>\lim_{n \to \infty} \epsilon_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \epsilon_{n+2} = \lim_{n \to \infty} \epsilon_{n+3} = 0</math>
 
Donc la suite <math>(S_n)_{n \in \N}</math> converge vers <math>\tfrac{1}{2}</math>, donc la série <math>\sum_{k \ge 0} \frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)}</math> converge, et sa somme est <math>\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{1}{2}</math>}}
}}
 
 
[[Catégorie:Série numérique]]