« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions
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Ligne 17 :
Montrer que <math>\mathrm{Im}(u)\subset\mathrm{Ker}(v)</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\forall x\in E,~v(u(x))=0\,</math> donc <math>\forall x\in E,~u(x)\in\mathrm{Ker}(v)</math>
Donc <math>\{u(x)|x\in E\}\subset\mathrm{Ker}(v)</math>, c'est-à-dire <math>\mathrm{Im}(u)\subset\mathrm{Ker}(v)</math>}}
== Exercice 2 ==
Soit ''u'' un endomorphisme de E.
#Montrer que <math>\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(u^2)\Leftrightarrow\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}</math>▼
#Montrer que <math>\mathrm{Im}(u)=\mathrm{Im}(u^2)\Leftrightarrow E=\mathrm{Im}(u)+\mathrm{Ker}(u)</math>▼
▲
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{{Solution|contenu=
On suppose que <math>\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}</math>.
*Par définition du noyau, <math>\forall x\in\mathrm{Ker}(u),~u(x)=0</math>
Ligne 57 ⟶ 58 :
{{cadre simple|contenu='''Finalement, on a bien l'équivalence''' <math>\mathrm{Ker}(u)=\mathrm{Ker}(u^2)\Leftrightarrow\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}</math>}}}}
== Exercice 3 ==
Ligne 66 :
Montrer que ces trois endomorphismes ont même noyau et même image.
{{
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