« Application linéaire/Exercices/Application directe » : différence entre les versions

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{{Exercice
{{Exercice|titre=Application directe|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Application linéaire]]|chapitre=[[Application linéaire/Définitions|Définitions]]|numero=1|niveau=13}}
| titre = Application directe
| idfaculté = mathématiques
| leçon =[[Application linéaire]]
| chapitre = [[Application linéaire/Définitions|Définitions]]
| numero = 1
| niveau = 13
}}
 
== Être ou ne pas être une application linéaire ? ==
 
Les applications suivantes sont-elles linéaires ?
Ligne 22 ⟶ 29 :
 
 
{{BDdébutSolution|titre=Solution u<sub>1</sub>}}|contenu=
Soit <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2</math> avec
<math>v_1\begin{array}{|l}x_1\\y_1\\z_1\end{array}</math> et <math>v_2\begin{array}{|l}x_2\\y_2\\z_2\end{array}</math>
Ligne 37 ⟶ 44 :
Donc pour tout <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2,~u_1(\lambda v_1+v_2)=\lambda u_1(v_1)+u_1(v_2)</math>
 
{{cadre simple|contenu=Donc ''u<sub>1</sub>'' est une application linéaire.}}}}
{{BDfin}}
 
{{BDdébutSolution|titre=Solution u<sub>2</sub>}}|contenu=
<math>u_2(0,1,0)=0\,</math> et <math>u_2(0,2,0)=-2\,</math>
 
Or, si u<sub>2</sub> était une application linéaire, on devrait avoir <math>u_2(0,2,0)=2\,u_2(0,1,0)\,</math>
 
{{cadre simple|contenu=''u<sub>2</sub>'' n'est pas une application linéaire.}}}}
{{BDfin}}
 
{{BDdébutSolution|titre=Solution u<sub>3</sub>}}|contenu=
<math>u_3(1,0,1)=1\,</math> et <math>u_3(2,0,2)=4\,</math>
 
Or, si u<sub>3</sub> était une application linéaire, on devrait avoir <math>u_3(2,0,2)=2\,u_3(1,0,1)\,</math>
{{cadre simple|contenu=''u<sub>3</sub>'' n'est pas une application linéaire.}}}}
{{BDfin}}
 
{{BDdébutSolution|titre=Solution u<sub>4</sub>}}|contenu=
Soit <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2</math> avec
<math>v_1\begin{array}{|l}x_1\\y_1\\z_1\end{array}</math> et <math>v_2\begin{array}{|l}x_2\\y_2\\z_2\end{array}</math>
Ligne 70 ⟶ 74 :
Donc pour tout <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2,~u_4(\lambda v_1+v_2)=\lambda u_4(v_1)+u_4(v_2)</math>
 
{{cadre simple|contenu=''u<sub>4</sub>'' est une application linéaire.}}}}
{{BDfin}}
 
== Automorphisme ==
 
Soit l'application ''u'' définie par :
Ligne 83 ⟶ 86 :
Montrer que ''u'' est un automorphisme de <math>\R^2</math> et trouver son application réciproque.
 
{{Solution|contenu=
{{BDdébut|titre=Solution}}
On pose <math>E=\R^2</math>.
 
Ligne 115 ⟶ 118 :
u^{-1}&:&\R^2&\rightarrow&\R^2\\
~&~&(x,y)&\mapsto&\left(\frac12(x-y),\frac12(x+y)\right)
\end{array}</math>}}}}
{{BDfin}}
 
== Forme linéaire ==
 
On pose E le <math>\R</math>-espace vectoriel <math>\mathcal C([-\pi,\pi])</math>.
Ligne 130 ⟶ 132 :
Montrer que ''l'' est une forme linéaire sur E.
 
{{Solution|contenu=
{{BDdébut|titre=Solution}}
Soit <math>(\lambda,f,g)\in\R\times E^2</math>
:<math>\begin{align}
Ligne 141 ⟶ 143 :
Donc ''l'' est une application linéaire de E sur <math>\R</math>. De plus, E est un <math>\R</math>-espace vectoriel et l est bien à valeurs dans <math>\R</math>.
 
{{cadre simple|contenu='''''l'' est une forme linéaire sur E'''.}}}}
{{BDfin}}
 
 
{{Bas de page|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Application linéaire]]}}
 
[[Catégorie:Application linéaire]]