« Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle » : différence entre les versions
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{{Exercice|titre=Étude de la fonction exponentielle|idfaculté=mathématiques
|leçon=[[Fonction exponentielle]]|niveau=12|chapitre=[[Fonction exponentielle]]|numero=4}}
Un certain nombre d'études de fonctions ne peuvent se faire sans le théorème de [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction|dérivation d'une composée par une fonction affine]] (niveau 11).
== Exercice 1 ==
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'''1.''' <math>f_1:x\mapsto(3x-2)e^x</math>
*Cette fonction se dérive comme un produit.
**On pose
**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math>
**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^x</math>
Ligne 146 ⟶ 148 :
*Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
**On remarque que pour tout <math>x\in\R,~f_2(x)=\frac{x^2}{e^{-x}}=x^2 e^x</math>
**On pose
**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 2x</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math>
**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x</math>
'''3. <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-3x}</math>'''
*On va utiliser [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction|ce théorème de niveau 11]]
**On pose
**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto -3e^{-3x}</math>
**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3+3x\times(-3)
}}
Ligne 171 ⟶ 164 :
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
'''1.''' <math>
'''2.''' <math>
'''3.''' <math>
'''4.''' <math>f_4:x\mapsto e^{2x+3}</math>
'''
'''
'''
{{Solution|contenu=
'''1.''' <math>f_1:x\mapsto(5x-2)e^{-x}</math>
*On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 5x-2</math> et <math>v:x\mapsto e^{-x}</math>
*Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 5</math> et <math>v':x\mapsto -e^{-x}</math>
*Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(5-(5x-2))e^{-x}=(-5x+7)e^{-x}</math>
'''2.''' <math>f_2:x\mapsto\frac{x^2}{e^x}</math>
*On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto x^2</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math>
*Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 2x</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math>
*Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x</math>
'''3.''' <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-4x}</math>
*On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{-4x}</math>
*Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto -4e^{-4x}</math>
*Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_3'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3-4\cdot 3x)e^{-4x}=3(-4x+1)e^{-4x}</math>
'''4.''' <math>f_4:x\mapsto e^{2x+3}</math>
*On pose sur <math>\R</math> la fonction <math>u:x\mapsto 2x+3</math>
*Sa dérivée est définie par <math>u':x\mapsto 2</math>
*Comme <math>f_4=e^u\,</math>, on a pour tout <math>x\in\R, f_4'(x)=u'(x)e^{u(x)}=2e^{2x+3}</math>
'''5.''' <math>f_5:x\mapsto 3e^{-4x}</math>
*Pour tout <math>x\in\R, f_5'(x)=-12e^{-4x}</math>
'''6.''' <math>f_6:x\mapsto xe^{2x-1}</math>
*On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto x</math> et <math>v:x\mapsto e^{2x-1}</math>
*Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 1</math> et <math>v':x\mapsto 2e^{2x-1}</math>
*Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_6'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(2x+1)e^{2x-1}</math>
'''7.''' <math>f_7:x\mapsto 3x e^{\frac{x}{2}}</math>
*On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{\frac{x}{2}}</math>
*Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto \frac12e^{\frac{x}{2}}</math>
*Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_7'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\left(\frac32x+3\right)e^{\frac{x}{2}}</math>}}
== Exercice 5 ==
Pour tout réel
:pour tout <math>x\in\R,~f_{\lambda}(x)=\frac{e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}}{2\lambda}</math>
'''1.''' Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒ<
'''2.''' Démontrer que ƒ<
'''3.''' Étudier les variations de ƒ<sub>''λ''</sub> et déterminer sa limite en <math>+\infty</math>.
{{Solution|contenu=
'''1.''' Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒ<sub>''λ''</sub> pour ''λ'' = 0,5 et pour ''λ'' = 3.
[[Image:Defaut.svg]]
'''2.''' Démontrer que ƒ<sub>''λ''</sub> est paire, c'est-à-dire pour tout <math>x\in\R,~f_{\lambda}(-x)=f_{\lambda}(x)</math>.
:Soit <math>x\in\R</math>
:<math>\begin{align}
f_{\lambda}(-x)&=\frac{e^{\lambda (-x)}+e^{-\lambda (-x)}}{2\lambda}\\
&=\frac{e^{-\lambda x}+e^{\lambda x}}{2\lambda}
\end{align}</math>
{{cadre simple|contenu=Donc ƒ<sub>''λ''</sub> est paire.}}
'''3.''' Étudier les variations de ƒ<sub>''λ''</sub> et déterminer sa limite en <math>+\infty</math>.
:ƒ<sub>''λ''</sub> est dérivable et, pour tout <math>x\in\R</math> :
::<math>\begin{align}
f_{\lambda}'(x)&=\frac{\lambda e^{\lambda x}+(-\lambda)e^{-\lambda x}}{2\lambda}\\
&=\frac{e^{\lambda x}-e^{-\lambda x}}2\\
&=\frac{e^{\lambda x}\left(1-e^{-2\lambda x}\right)}2\\
\end{align}</math>
On déduit de cette expression le tableau de signes de ƒ<sub>''λ''</sub>', donc les variations de ƒ<sub>''λ''</sub>.
<math>\begin{array}{c|ccccc|}
x&-\infty&&0&&+\infty\\
\hline
\textrm{Signe~de}~e^{\lambda x}&&+&&+&\\
\hline
\textrm{Signe~de}~1-e^{-2\lambda x}&&-&0&+&\\
\hline
&+\infty&&&&+\infty\\
\textrm{Variations~de}~f_\lambda&&\searrow&&\nearrow&\\
&&&\frac1{2\lambda}&&\\
\hline
\end{array}
</math>
*Comme <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-\lambda x}=0</math> et <math>\lim_{x\to+\infty}e^{\lambda x}=+\infty</math>, on a <math>\lim_{x\to+\infty}f_\lambda =+\infty</math>
*Comme <math>\lim_{x\to-\infty}e^{-\lambda x}=+\infty</math> et <math>\lim_{x\to-\infty}e^{\lambda x}=0</math>, on a <math>\lim_{x\to-\infty}f_\lambda =+\infty</math>}}
[[Catégorie:Fonction exponentielle]]
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