« Série entière/Exercices/Rayon de convergence 1 » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m typo, TeX |
m mise en page + niveau |
||
Ligne 1 :
{{Exercice
| titre = Rayon de convergence 1
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[Série entière]]
| numero = 1
| chapitre =
| niveau = 14
}}
Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes :
* <math>\sum_{n \ge 2} (\ln (n))x^n</math>
{{clr}}
{{Solution|contenu=
Il faut utiliser le critère de d'Alembert. Soit <math>a_n = \ln(n)</math>
<math>\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}.</math> Or <math>\lim_{n\to \infty} \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} = 1 = \lambda</math>
Le rayon de convergence est égal à <math>\tfrac{1}{\lambda}</math> donc RCV = 1.}}
* <math>\sum_{n \ge 1}\frac{n^n}{n!}x^n</math>
{{Solution|contenu=
Soit <math>b_n = \frac{n^n}{n!}.</math> D'Alembert : <math>\left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right|</math>
Ligne 27 ⟶ 29 :
Et on a vu dans l'[[Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert|exercice 9]] dans le chapitre sur les [[Série numérique|séries numériques]], que <math>\lim_{n\rightarrow \infty} (1+\tfrac{1}{n})^n = e</math>
<math>R = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{e}</math>}}
* <math>\sum_{n \ge 2}\frac{n \ln(n)}{n^2+1}x^n</math>
{{
Soit <math>c_n = \frac{n \ln(n)}{n^2+1}.</math> D'Alembert : <math>\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|</math>
Ligne 47 :
Et <math>\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{\ln(n)} = \frac{1}{n} = \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{\ln(n)} = 0</math> et <math>\lim_{n \to \infty} \frac{(1+\tfrac{1}{n^2})}{(1 + \tfrac{2}{n} + \tfrac{2}{n^2})} = 1</math> donc <math>\lambda = 1\,</math> donc <math>R = 1\,</math>}}
* <math>\sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}</math>
{{
C'est bien une série entière de la forme <math>\sum_{n \ge 0} d_n x^n</math> mais
Ligne 99 ⟶ 97 :
* si <math>|x| > 2,\ \sum_{n \ge 0}\frac{1}{\binom{2n}{n}}x^{2n}</math> diverge.
D'où <math>R = 2.</math>}}
* <math>\sum_{n \ge 0}(-1)^n\frac{5^n}{n^3+1}x^{2n+1}</math>
{{
Les premiers termes de cette série sont : <math>x - \tfrac{5}{2} x^3 + \tfrac{25}{9} x^5 - \cdots</math> Ils s'expriment bien sous la forme <math>\sum_{n \ge 0}e_n x^n</math>, mais
Ligne 120 ⟶ 116 :
D'après le critère de d'Alembert, si <math>5x^2 < 1\,</math>, ce qui équivaut à <math>x^2 < \tfrac{1}{5}</math>, ce qui équivaut à <math>|x| < \tfrac{1}{\sqrt{5}}</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0}u_n</math> converge absolument.
Si <math>5x^2 > 1\,</math>, ce qui équivaut à <math>|x| > \tfrac{1}{\sqrt{5}}</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0}u_n</math> diverge grossièrement. Donc le rayon de convergence de la série est <math>\tfrac{1}{\sqrt{5}}</math>.}}
* <math>\sum_{n \ge 0}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n</math>
{{
<math>\frac{|f_{n+1}|}{|f_n|} = \frac{|\sin(\pi\sqrt{(n+1)^2+1})|}{|\sin(\pi\sqrt{n^2+1})|} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow}\ ?</math> et
Ligne 141 ⟶ 135 :
On peut conclure que <math>R = 1</math>.}}
* <math>\sum_{n \ge 0}\left( \frac{1}{1+\sqrt{n}} \right)^n z^n</math>
{{
<math>= \sum_{n \ge 0} g_n \mbox{ avec } g_n = \left( \frac{1}{1+\sqrt{n}} \right)^n</math>
<math>|g_n|^{1/n} = \frac{1}{1 + \sqrt{n}} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 = \lambda.</math>
<math>R = \frac{1}{\lambda} = +\infty.</math>}}
[[Catégorie:Série entière]]
| |||