« Série numérique/Exercices/Comparaison série-intégrale » : différence entre les versions
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{{Exercice
| titre = Comparaison Série-Intégrale
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[Série numérique]]
| numero = 8
| chapitre =
| niveau = 14
}}
Étudier la nature de l'intégrale <math>\int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin(2 \pi t)|}{t}dt</math> et de la série <math>\sum_{k \ge 1} \frac{|\sin(2 \pi k)|}{k}</math>.
''Indication'' : Pour l'intégrale, vous pouvez penser à utiliser la décomposition <math>\int_{1}^{N} \frac{|\sin(2 \pi t)|}{t}dt = \sum_{k=1}^{N-1} \int_{k}^{k+1} \frac{|\sin(2 \pi t)|}{t}dt</math>
{{clr}}
{{Solution|contenu=
La somme <math>\sum_{k \ge 1} \frac{|\sin(2 \pi k)|}{k} = 0</math> car <math>|\sin(2 \pi k)| = 0\,</math> alors que <math>\int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin(2 \pi t)|}{t}dt\ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lim_{N \rightarrow +\infty} \int_{1}^{N} \frac{|\sin(2 \pi t)|}{t}dt = +\infty</math>
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<math>\int_{k}^{k+1} |\sin(2 \pi t)|dt = 2 \int_{k}^{k+1} |\sin(2 \pi t)|dt = 2 \int_{k}^{k+\tfrac{1}{2}} \sin(2 \pi t)dt = 2 \left[ \frac{-\cos(2\pi t)}{2\pi}\right]_{k}^{k+1} = \frac{2}{\pi}</math>
Or<math>\ (*) \ge \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{k+1}</math> donc <math>\lim_{N \rightarrow +\infty} \int_{1}^{N}\frac{|\sin(2 \pi t)|}{t}dt = +\infty</math>}}
[[Catégorie:Série numérique]]
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