« Fonction exponentielle/Étude de la fonction exponentielle » : différence entre les versions
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{{Chapitre
| titre = Étude de la fonction exponentielle
| idfaculté = mathématiques|leçon=[[Fonction exponentielle]]
| numero = 4
| précédent = [[Fonction exponentielle/Propriétés algébriques de l'exponentielle|Propriétés algébriques de l'exponentielle]]
| suivant = [[Fonction exponentielle/Croissances comparées|Croissances comparées]]
| niveau = 12
}} ==Dérivée de la fonction exponentielle==▼
▲== Dérivée de la fonction exponentielle ==
{{Théorème|contenu=La dérivée de la fonction <math>f:x\mapsto e^x</math> est elle-même : <math>f':x\mapsto e^x</math>}}
{{
{{Prérequis|sujet=la fonction logarithme|idfaculté=mathématiques|cours=Fonction logarithme}}
Ligne 20 :
*Donc pour tout <math>x\in\R,~u'(x)=u(x)=e^x</math>}}
== Variations de la fonction exponentielle ==
=== Positivité de l'exponentielle ===▼
▲===Positivité de l'exponentielle===
{{Propriété|contenu=Pour tout <math>x\in\R,~\exp(x)>0</math>}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
*Pour tout <math>x\in\R,e^x=\left(e^{\frac x2}\right)^2</math>, donc pour tout <math>x\in\R,~e^x\geq0</math>
*De plus, s'il existe <math>x_0\in\R</math> tel que <math>e^{x_0}=0</math>,
alors pour tout <math>x\in\R,~e^x=e^{(x-x_0)+x_0}=e^{x_0}\times e^{x-x_0}=0</math>, ce qui est faux car <math>\exp(0)=1\,</math>
*Donc pour tout <math>x\in\R,~\exp(x)>0</math>
===Variations de la fonction exponentielle===▼
▲=== Variations de la fonction exponentielle ===
{{Théorème|contenu=La fonction exponentielle est strictement croissante sur <math>\R</math>.}}
{{
*On sait que si pour tout <math>x\in\R,~f(x)=e^x</math>, alors ''f'' est dérivable et pour tout <math>x\in\R,~f'(x)=e^x</math>.
*Donc pour tout <math>x\in\R,~f'(x)>0</math> car l’exponentielle d’un nombre réel est strictement positive.
*Donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur <math>\R</math>.
}} ==Limites aux bornes==▼
===Limite en + ∞===▼
▲== Limites aux bornes ==
▲=== Limite en + ∞ ===
{{Théorème|contenu=<math>\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty</math>}}
{{
Comme la fonction exponentielle est croissante, il suffit d’étudier la limite de <math>e^n</math> , où ''n'' est un entier naturel. Cette suite est géométrique de raison e >1, donc elle tend vers plus l’infini quand ''n'' tend vers plus l’infini.
}} ===Limite en -∞===▼
▲=== Limite en -∞ ===
{{Théorème|contenu=<math>\lim_{x\to-\infty}e^x=0</math>}}
{{
Comme précédemment :
:<math>\lim_{x\to+\infty} e^{-n}=\lim_{x\to+\infty}\frac1{e^n}=0</math>}}
== Courbe représentative ==
On a tracé ci-dessous la courbe de la fonction exponentielle.
:[[Image:Courbe_de_la_fonction_exponentielle.jpg|700px]]
Ligne 70 ⟶ 65 :
===Tangente remarquable===
{{Propriété|contenu=
Au point (0 ; 1), la tangente a pour équation <math>y=x+1\,</math>,
Ligne 78 ⟶ 72 :
{{
Le nombre dérivé de l'exponentielle en 0 vaut e<sup>0</sup>=1 et l'ordonnée à l’origine e<sup>0</sup>=1.
}} {{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[Fonction exponentielle]]
| suivant = [[Fonction exponentielle/Croissances comparées|Croissances comparées]]
}}
▲{{Bas de page|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Fonction exponentielle]]|précédent=[[Fonction exponentielle/Propriétés algébriques de l'exponentielle|Propriétés algébriques de l'exponentielle]]|suivant=[[Fonction exponentielle/Croissances comparées|Croissances comparées]]}}
[[Catégorie:Fonction exponentielle]]
[[Catégorie:Cours de mathématiques de BTS (Groupement C)]]
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