« Fondements des mathématiques/Des preuves de cohérence » : différence entre les versions

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Le paradoxe du menteur, qui vient d’être présenté, est comme beaucoup d’autres paradoxes, très important pour la recherche des vérités. Le chapitre 4 a rappelé son importance dans les preuves d’incomplétude des principes mathématiques.
 
AÀ la fin du {{s-|XIX|e}}XIXème siècle, la recherche de principes généraux pour toutes les mathématiques est devenue une question centrale. La théorie des ensembles de Cantor et les progrès de la logique mathématique ont fait espérer une théorie mathématique générale et complète. Il s’agissait de trouver un nombre fini d’axiomes à partir desquels on aurait pu prouver toutes les vérités sur tous les êtres mathématiques concevables. Cependant la théorie de Cantor a des aspects paradoxaux et la fiabilité des raisonnements généraux sur les ensembles laissait une place au doute. Frege, parmi d’autres logiciens a développé des méthodes formelles qui permettaient de formuler avec précision tous les énoncés mathématiques sur les ensembles et tous les axiomes qui semblaient naturels pour fixer la signification des notions fondamentales.
 
La méthode formaliste de Frege lui a permis d’éviter tous les sophismes, mais il est tombé sur un paradoxe. Russell lui a prouvé que ses axiomes, pourtant naturels, conduisent à une contradiction. Cette preuve a été présentée dans le chapitre 3.
 
Sans les méthodes formelles, on ne peut pas espérer répondre au problème de la fiabilité ou de la cohérence des principes mathématiques. Il faut être précis, comme Frege, sur ce qu’on prend comme axiomes et sur ce qu’on admet comme règle de déduction, pour pouvoir alors prouver que les principes sont cohérents. On ne peut pas le faire pour les principes naturels parce qu’ils sont incohérents. Bien naïf est celui qui n’a pas compris qu’on peut toujours tout prouver, à la fois une chose et son contraire, il suffit de quelques phrases bien tournées. Mais il n’est souvent pas difficile de se protéger contre cette absurdité de la raison naturelle. Pour les raisonnements courants, il suffit en général de préciser un peu les significations. Si on rencontre un paradoxe, on sait alors qu’on a besoin d’une théorie plus prudente quant au choix de ses principes. On est conduit à développer une théorie formelle avec des axiomes et des règles clairement explicitées.
 
=== Le programme de Hilbert ===