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* <math>\sum_{n \ge 0}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n</math>
{{Solution|contenu=
<math>\frac{|f_{n+1}|}{|f_n|} = \frac{|\sin(\pi\sqrt{(n+1)^2+1})|}{|\sin(\pi\sqrt{n^2+1})|} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow}\ ?</math> et
<math>|f_n|^{1/n} = |\sin(\pi\sqrt{n^2+1})|^=|\sin(n\pi\sqrt{1/+\frac{1}{n^2} =\ ?})|</math>
donc <math> |f_n|=|\sin(n\pi(1-\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2}))|=|\sin(n\pi-\frac{\pi}{2n}+o(\frac{1}{n})|=|\sin(\frac{\pi}{2n}+o(\frac{1}{n})|</math>
Ainsi, on a l'équivalent <math>|f_n|</math> est équivalent à <math>\frac{\pi}{2n}</math> donc le rapport <math>|\frac{f_{n+1}}{f_n}|</math> tend vers 1 et donc <math>R=1</math>
}}
Il faut tester une autre approche. On peut majorer par 1 :
<math>|\sin(\pi\sqrt{n^2+1})| \le 1</math> donc pour tout <math>z \in \mathbb{C},\ |\sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n| \le |z|^n.</math>
* Si <math>|z| < 1,\ \sum_{n \ge 0} |z|^n</math> est convergente, donc <math>\sum_{n \ge 0} |\sin(\pi\sqrt{n^2+1})z|^n</math> converge donc si <math>|z| < 1\,</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0} \sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n</math> est absolument convergente.
* Si <math>|z| > 1\,</math>, alors <math>\forall n \in \N : |z|^n > 1</math> alors <math>|\sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n| > |\sin(\pi\sqrt{n^2+1})|</math>. Or <math>\sin(\pi\sqrt{n^2+1})</math> n'a pas de limite quand <math>n</math> tend vers l'infini, donc <math>\sin(\pi\sqrt{n^2+1})</math> ne tend pas vers zéro quand <math>n</math> tend vers l'infini. Donc si <math>|z| > 1\,</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n</math> diverge.
On peut conclure que <math>R = 1</math>.}}
* <math>\sum_{n \ge 0}\left( \frac{1}{1+\sqrt{n}} \right)^n z^n</math>
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