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On considère la fonction tangente f, définie par <math>\operatorname{f(x)}=\tan(x)\,</math> et on appelle <math> \mathcal{C}_f\,</math> sa courbe représentative dans un repère orthonormé <math>(\vec O, \vec i, \vec j)\,</math>
#'''1.'''Déterminer l'ensemble de définition de la fonction tangente.
'''2.'''
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##::'''1.'''Montrer que <math>\forall x \in D_f\,</math> on a <math>(x+ \pi) \in D_f</math> et <math>\operatorname{f(x+\pi)}= \operatorname{f(x)}</math>
##::'''2.'''Interprétez géométriquement ce résultat
##::'''3.'''Sur quelle intervalle suffit il d'étudier la fonction ?
'''3.'''
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##::'''1.'''Étudier la parité de la fonction f et interprétez géométriquement le résultat
##::'''2.'''Sur quel intervalle suffirait-il en fait de faire l'étude de la fonction f
#'''4.'''Soit un réel <math>x \in \left]\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[</math>. Exprimez en fonction de tan(x) les réels suivants : <math>\tan(-x);\ \tan(\pi + x);\ \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right); \ \tan\left(\frac{\pi}{2} + x\right); \ \tan(k\pi + x)</math> où <math>k \in \mathbb{Z}</math>
#'''5.'''Donner la valeur exacte des réels suivant : <math>\tan0 \ \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)\ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\ \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)</math>
#'''6.'''Montrer que pour tout réel x<math>\in D_f</math> on a <math>1+\tan x = \left(\frac{1}{\cos ^2 x}\right)</math>
#'''7.''' Sauriez vous démontrer avec "élégance" que la courbe d'équation y=<math>tanx</math> admet une infinité de centres de symétrie <math>\Omega _k \left((2k+1) \frac{\pi}{2};0 \right)</math>, où <math>k \in \mathbb{Z}.</math>
{{Solution
|contenu=
#'''1.''' <math>\operatorname{f(x)}= \frac{\sin x}{\cos x}</math> donc f est définie ssi <math>\cos x \ne 0</math> d'où <math>D_f = \mathbb{R} \backslash \{\frac{\pi}{2}+k\pi; k \in \mathbb{Z}\}</math> que l'on peut noter <math> D_f = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left] \frac{- \pi}{2}+k \pi; \frac{\pi}{2}+k \pi \right] </math>.
'''2.'''
#
##::'''1.''' Pour tout <math>x \in D_f</math>, il existe <math>k \in \mathbb{Z}</math> tel que <math>\left( -\frac{\pi}{2} \right)+k \pi<x< \left( \frac{\pi}{2} \right)+k \pi</math> On a donc <math>\left(-\frac{\pi}{2}\right)+k \pi + \pi < x + \pi < \left(\frac{\pi}{2}\right)+k \pi + \pi</math> d'où <math>\left(-\frac{\pi}{2}\right)+k' \pi < x + \pi < \left(\frac{\pi}{2}\right)+k' \pi</math> où k'=k+1 (donc k'<math>\in \mathbb{Z}</math>). Ce qui prouve que <math>(x + \pi)\in \mathbb{Z}</math>
De plus <math>\operatorname{f(x + \pi)} = \frac{\sin(x+ \pi)}{\cos(x+ \pi)}=\frac{-\sin(x)}{-\cos(x)}=\tan x</math> donc <math>\operatorname{f(x + \pi)} = \operatorname{f(x)}</math>
##::'''2.'''La fonction f est π périodique (c'est à dire périodique de période pi). Géométriquement la courbe <math>\mathcal{C}_f</math> se répète dans des translations de vecteur <math>k \pi \vec i</math> où <math>k \in \mathbb{Z}</math>
##::'''3.'''Il suffit d'étudier f sur <math>\left]\frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right[</math> (intervalle d'amplitude égale à 1 période soit pi) puis de translater la courbe obtenue par les translations de vecteur <math>k \pi \vec i</math> où <math>k \in \mathbb{Z}</math>.
'''3.'''
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##::'''1.''' <math>\forall x \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[, (-x) \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[</math> et on a <math>\operatorname f(-x)=\left(\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}\right)=\left(\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}\right)=-\tan x</math> La fonction tangente est donc impaire. <math>\mathcal{C}_f</math> est donc symétrique par rapport à l'origine O du repère.
##::'''2.'''Il suffirait juste d'étudier f sur <math>\left]0;\frac{\pi}{2}\right[</math> puis de construire le symétrique de la courbe obtenue par rapport à O puis de translater la nouvelle courbe obtenue par les translations des vecteurs <math>k \pi \vec i</math> où <math>k \in \mathbb{Z}</math>
#'''4.'''<math>\forall x \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[</math>on a d'après 3a <math>\tan(-x)=-\tan x</math><br/>De plus <math>\tan(\pi-x)=\left(\frac{\sin(\pi-x)}{\cos(\pi-x)}\right)=\left(\frac{\sin x}{-\cos x}\right)=-\tan x</math><br/><math>\tan(\pi+x)=\left(\frac{\sin(\pi+x)}{\cos(\pi+x)}\right)=\left(\frac{-\sin x}{-\cos x}\right)=\tan x</math>
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