« Fonctions circulaires/Exercices/Tangente » : différence entre les versions
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'''1.'''Déterminer l'ensemble de définition de la fonction tangente.
'''2.'''
::'''1.''' Montrer que <math>\forall x \in D_f\,</math> on a <math>(x+ \pi) \in D_f</math> et <math>\operatorname{f(x+\pi)}= \operatorname{f(x)}</math>
::'''2.''' Interprétez géométriquement ce résultat
::'''3.''' Sur quelle intervalle suffit il d'étudier la fonction ?
'''3.'''
::'''1.''' Étudier la parité de la fonction f et interprétez géométriquement le résultat
::'''2.''' Sur quel intervalle suffirait-il en fait de faire l'étude de la fonction f
'''4.''' Soit un réel <math>x \in \left]\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[</math>. Exprimez en fonction de tan(x) les réels suivants : <math>\tan(-x);\ \tan(\pi + x);\ \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right); \ \tan\left(\frac{\pi}{2} + x\right); \ \tan(k\pi + x)</math> où <math>k \in \mathbb{Z}</math><br/>
'''5.''' Donner la valeur exacte des réels suivant : <math>\tan0 \ \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)\ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\ \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)</math></br>
'''6.''' Montrer que pour tout réel x<math>\in D_f</math> on a <math>1+\tan x = \left(\frac{1}{\cos ^2 x}\right)</math></br>
'''7.''' Sauriez vous démontrer avec "élégance" que la courbe d'équation y=<math>tanx</math> admet une infinité de centres de symétrie <math>\Omega _k \left((2k+1) \frac{\pi}{2};0 \right)</math>, où <math>k \in \mathbb{Z}.</math>
{{Solution
Ligne 31 :
'''3.'''
::'''1.''' <math>\forall x \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[, (-x) \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[</math> et on a <math>\operatorname f(-x)=\left(\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}\right)=\left(\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}\right)=-\tan x</math> La fonction tangente est donc impaire. <math>\mathcal{C}_f</math> est donc symétrique par rapport à l'origine O du repère.
::'''2.''' Il suffirait juste d'étudier f sur <math>\left]0;\frac{\pi}{2}\right[</math> puis de construire le symétrique de la courbe obtenue par rapport à O puis de translater la nouvelle courbe obtenue par les translations des vecteurs <math>k \pi \vec i</math> où <math>k \in \mathbb{Z}</math>
'''4.''' <math>\forall x \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[</math>on a d'après 3a <math>\tan(-x)=-\tan x</math><br/>De plus <math>\tan(\pi-x)=\left(\frac{\sin(\pi-x)}{\cos(\pi-x)}\right)=\left(\frac{\sin x}{-\cos x}\right)=-\tan x</math><br/><math>\tan(\pi+x)=\left(\frac{\sin(\pi+x)}{\cos(\pi+x)}\right)=\left(\frac{-\sin x}{-\cos x}\right)=\tan x</math>
}}
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