« Fonctions circulaires/Exercices/Tangente » : différence entre les versions
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On considère la fonction tangente f, définie par <math>\operatorname{f(x)}=\tan(x)\,</math> et on appelle <math> \mathcal{C}_f\,</math> sa courbe représentative dans un repère orthonormé <math>(
'''1.'''Déterminer l'ensemble de définition de la fonction tangente.<br.>
'''2.'''
::'''1.''' Montrer que <math>\forall x \in D_f\,</math> on a <math>(x+ \pi) \in D_f</math> et <math>\operatorname{f(x+\pi)}= \operatorname{f(x)}</math>
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::'''1.''' <math>\forall x \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[, (-x) \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[</math> et on a <math>\operatorname f(-x)=\left(\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}\right)=\left(\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}\right)=-\tan x</math> La fonction tangente est donc impaire. <math>\mathcal{C}_f</math> est donc symétrique par rapport à l'origine O du repère.
::'''2.''' Il suffirait juste d'étudier f sur <math>\left]0;\frac{\pi}{2}\right[</math> puis de construire le symétrique de la courbe obtenue par rapport à O puis de translater la nouvelle courbe obtenue par les translations des vecteurs <math>k \pi \vec i</math> où <math>k \in \mathbb{Z}</math>
'''4.''' <math>\forall x \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[</math>on a d'après 3a <math>\tan(-x)=-\tan x</math><br/>De plus <math>\tan(\pi-x)=\left(\frac{\sin(\pi-x)}{\cos(\pi-x)}\right)=\left(\frac{\sin x}{-\cos x}\right)=-\tan x</math><br/><math>\tan(\pi+x)=\left(\frac{\sin(\pi+x)}{\cos(\pi+x)}\right)=\left(\frac{-\sin x}{-\cos x}\right)=\tan x</math><br/>
Pour x≠0 : <math>\tan(\left(\frac{\pi}{2}\right)-x)=\frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}=\frac{cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}</math>
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