|
| niveau = 11
}}
On considère la fonction tangente f, définie par <math>\operatorname{f(x)}=\tan(x)\,</math> et on appelle <math> \mathcal{C}_f\,</math> sa courbe représentative dans un repère orthonormé <math>(O, \vec i, \vec j)\,</math> ▼
▲On considère la fonction tangente f, définie par <math>\operatorname{f(x)}=\tan(x)\,</math> et on appelle <math> \mathcal{C}_f\,</math> sa courbe représentative dans un repère orthonormé <math> \left(O , ;\vec i, \vec j \right)\,</math>
'''1.'''Déterminer l'ensemble de définition de la fonction tangente.<br.> ▼
▲'''1.'''Déterminer l'ensemble de définition de la fonction tangente. <br.>
'''2.'''
::'''1.''' Montrer que <math>\forall x \in D_f\,</math> on a <math>(x+ \pi) \in D_f</math> et <math>\operatorname{f(x+\pi)}= \operatorname{f(x)}</math>.
::'''2.''' Interprétez géométriquement ce résultat.
::'''3.''' Sur quelle intervalle suffit il d'étudier la fonction ?
'''3.'''
::'''1.''' Étudier la parité de la fonction f et interprétez géométriquement le résultat.
::'''2.''' Sur quel intervalle suffirait-il en fait de faire l'étude de la fonction f.
'''4.''' Soit un réel <math>x \in \left]\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[</math>. Exprimez en fonction de tan(x) les réels suivants : <math>\tan(-x);\ \tan(\pi + x);\ \tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right); \ \tan\left(\frac{\pi}{2} + x\right); \ \tan(k\pi + x)</math> où <math>k \in \mathbb{Z}</math><br/>
'''54.''' DonnerSoit laun valeurréel exacte<math>x \in \left]\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[</math>. Exprimez en fonction de tan(x) desles réels suivantsuivants : <math>\tan0tan(-x);\ \tan(\pi + x);\ \tan\left(\frac{\pi}{62} - x\right); \ \tan\left(\frac{\pi}{42} + x\right); \ \tan\left(\frac{k\pi}{3}\right + x)</math> où <math>k \in \mathbb{Z}</brmath>
'''6.''' Montrer que pour tout réel x<math>\in D_f</math> on a <math>1+\tan x = \left(\frac{1}{\cos ^2 x}\right)</math></br> ▼'''5.''' Donner la valeur exacte des réels suivant : <math>\tan0 \ \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)\ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\ \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)</math>
|contenu=
▲'''6.''' Montrer que pour tout réel x<math>\in D_f</math> on a <math>1+\tan x = \left(\frac{1}{\cos ^2 x}\right)</math ></br>
'''1.''' <math>\operatorname{f(x)}= \frac{\sin x}{\cos x}</math> donc f est définie ssi <math>\cos x \ne 0</math> d'où <math>D_f = \mathbb{R} \backslash \{\frac{\pi}{2}+k\pi; k \in \mathbb{Z}\}</math> que l'on peut noter <math> D_f = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left] \frac{- \pi}{2}+k \pi; \frac{\pi}{2}+k \pi \right] </math>.
'''2.'''
::'''1.''' Pour tout <math>x \in D_f</math>, il existe <math>k \in \mathbb{Z}</math> tel que <math>\left( -\frac{\pi}{2} \right)+k \pi<x< \left( \frac{\pi}{2} \right)+k \pi</math> On a donc <math>\left(-\frac{\pi}{2}\right)+k \pi + \pi < x + \pi < \left(\frac{\pi}{2}\right)+k \pi + \pi</math> d'où <math>\left(-\frac{\pi}{2}\right)+k' \pi < x + \pi < \left(\frac{\pi}{2}\right)+k' \pi</math> où k'=k+1 (donc k'<math>\in \mathbb{Z}</math>). Ce qui prouve que <math>(x + \pi)\in \mathbb{Z}</math>
De plus <math>\operatorname{f(x + \pi)} = \frac{\sin(x+ \pi)}{\cos(x+ \pi)}=\frac{-\sin(x)}{-\cos(x)}=\tan x</math> donc <math>\operatorname{f(x + \pi)} = \operatorname{f(x)}</math>
::'''2.'''La fonction f est π périodique (c'est à dire périodique de période pi). Géométriquement la courbe <math>\mathcal{C}_f</math> se répète dans des translations de vecteur <math>k \pi \vec i</math> où <math>k \in \mathbb{Z}</math>
::'''3.'''Il suffit d'étudier f sur <math>\left]\frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right[</math> (intervalle d'amplitude égale à 1 période soit pi) puis de translater la courbe obtenue par les translations de vecteur <math>k \pi \vec i</math> où <math>k \in \mathbb{Z}</math>.
'''3.'''
::'''1.''' <math>\forall x \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[, (-x) \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[</math> et on a <math>\operatorname f(-x)=\left(\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}\right)=\left(\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}\right)=-\tan x</math>
:La fonction tangente est donc impaire. <math>\mathcal{C}_f\,</math> est donc symétrique par rapport à l'origine O du repère.
::'''2.''' Il suffirait juste d'étudier f sur <math>\left]0;\frac{\pi}{2}\right[</math> puis de construire le symétrique de la courbe obtenue par rapport à O puiset enfin de translater la nouvelle courbe obtenue par les translations des vecteurs <math>k \pi \vec i</math> où <math>k \in \mathbb{Z}\,</math>
'''4.'''
*<math>\forall x \in \left]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[</math>on a d'après 3a <math>\tan(-x)=-\tan x</math><br/>
*De plus <math>\tan(\pi-x)=\left(\frac{\sin(\pi-x)}{\cos(\pi-x)}\right)=\left(\frac{\sin x}{-\cos x}\right)=-\tan x</math><br/> ▼*De plus <math>\tan(\pi+-x)=\left(\frac{\sin(\pi+-x)}{\cos(\pi+-x)}\right)=\left(\frac{-\sin x}{-\cos x}\right)=-\tan x</math><br/>
*Pour x≠0 : <math>\tan(\left(\frac{\pi}{2}\right)-x)=\frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}=\frac{cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}</math><br/> ▼*Pour x≠0 : <math>\tan(\left(\frac{\pi}{2}\right)+x)=\left(\frac{\sin(\frac{\pi}{2}+x)}{\cos(\frac{\pi}{2}+x)}\right)=\left(\frac{cos-\sin x}{-\sincos x}\right)=-\frac{1}{\tan x}</math><br/>
*<math>\tan(k\pi+x)=\tan x</math> pour tout <math>k \in \mathbb{Z}</math>(car tan est pi-périodique) ▼▲*Pour x≠0 : <math>\tan \left(\left(\frac{\pi}{2}\right)-x \right)=\frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}=\frac{cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}</math ><br/>
* Pour x≠0 : <math>\tan \left(\left(\frac{\pi}{ 62} \right) =+x\ left(right)=\frac{\sin(\frac{\pi}{ 62} +x)}{\cos(\frac{\pi}{ 62} +x)} \right)=\frac{ 1}{2} Xcos \frac{2x}{ -\ sqrt{3}sin x}= -\frac{ \sqrt{3}1}{ 3\tan x}</math> ▼
▲*<math>\tan(k\pi+x)=\tan x \,</math> pour tout <math>k \in \mathbb{Z}</math> (car tan est piπ-périodique)
'''5.'''
*<math>\tan 0=\left(\frac{\sin0}{\cos 0}\right)=0</math>
▲*<math>\tan(\frac{\pi}{6})=\left(\frac{\sin(\frac{\pi}{6})}{\cos(\frac{\pi}{6})}\right)=\frac{1}{2} X \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
*<math>\tan\left(\frac{\pi}{46}\right)=\left(\frac{\sin(\frac{\pi}{46})}{\cos(\frac{\pi}{46})}\right)=\frac{\sqrt{2}1}{2} X \times \frac{2}{\sqrt{23}}=1\frac{\sqrt{3}}{3}</math>
*<math>\tan(\frac{\pi}{3})=\left(\frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{\cos(\frac{\pi}{3})}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} X 2 =\sqrt{3}</math> ▼'''6.'''*<math>\forall x \in D_f</math>, on a <math>1+ \tan ^2 x=1+\left(\frac{\sin ^2 xpi}{\cos ^2 x4}\right)=\left(\frac{\cos ^2 x + sin(\sin ^2 xfrac{\pi}{4})}{\cos ^2 x(\frac{\pi}{4})}\right)=\frac{1\sqrt{2}}{2} \costimes ^2 x\frac{2}{\sqrt{2}}=1</math><br/>
}}
▲*<math>\tan \left(\frac{\pi}{3} \right)=\left(\frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{\cos(\frac{\pi}{3})}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} X\times 2 =\sqrt{3}</math>
▲*De'''6.'''<math>\forall plusx \in D_f< /math> , on a <math>1+ \tan (\pi- ^2 x )= 1+\left(\frac{\sin (\pi- ^2 x )}{\cos (\pi- ^2 x )}\right)=\left(\frac{ \cos ^2 x + \sin ^2 x}{ -\cos ^2 x}\right)= -\ tanfrac{1}{\cos ^2 x }</math><br/> }}
[[Catégorie:Fonctions circulaires]]
| 